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幂函数及指数函数的区别.pdf
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幂函数及指数函数的区别.pdf
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幂函数与指数函数的区别
1.指数函数:自变量 x 在指数的位置上,y=a^x〔a>0,a 不等于 1〕
性质比拟单一,当 a>1 时,函数是递增函数,且 y>0;
当 0<a<1 时,函数是递减函数,且 y>0.
2.幂函数:自变量 x 在底数的位置上,y=x^a〔a 不等于 1〕.
a 不等于 1,但可正可负,取不同的值,图像及性质是不一样的。
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高中数学里面,主要要掌握 a=-1、2、3、1/2 时的图像即可。其中当 a=2 时,函
数是过原点的二次函数。其他 a 值的图像可自己通过描点法画下并了解下根本图
像的走向即可。
3.y=8^(-0.7)是一个具体数值,并不是函数,如果要和指数函数或者幂函数联系起
来也是可以的。首先你可以将其看成:指数函数 y=8^x〔a=8〕,当 x=-0.7 时,y
的值;或者将其看成:幂函数 y=x^(-0.7)〔a=-0.7〕,当 x=8 时,y 的值。
幂函数的性质:
根据图象,幂函数性质归纳如下:
〔1〕所有的幂函数在〔0,+∞〕都有定义,并且图象都过点〔1,1〕;
〔2〕当 a>0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+ ∞)上是增函数.
特别地,当 a>1 时,幂函数的图象下凸;当 0<a<1 时,幂函数的图象上凸;
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〔3〕当 a<0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限,
当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋
于+∞时,图象在轴 x 上方无限地逼近轴 x 正半轴。
指出:此时 y=x0=1;定义域为〔-∞,0〕∪〔0,+∞〕,特别强调,
当 x 为任何非零实数时,函数的值均为 1,图像是从点〔0,1〕出发,平行于 x
轴的两条射线,但点〔0,1〕要除外。
思考讨论:
〔1〕在幂函数 y=xa 中,当 a 是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质?
〔2〕在幂函数 y=xa 中,当 a 是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质?
讲评:〔1〕在幂函数 y=xa 中,当 a 是正偶数时,函数都是偶函数,在第一象
限是增函数。
对数函数的性质
(1)当 a>1 时,
①x >0,即 0 和负数无对数;
②当 x=1 时,y=0;
③当 x >1 时,y>0;当 0< x <1 时,y <0;
④在〔0,+∞〕上是增函数.
(2)当 0<a<1 时,
①x >0,即 0 和负数没有对数;
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②当 x=1 时,y=0;
③当 x >1 时,y < 0;当 0< x <1 时,y >0;
④在〔0,+∞〕上是减函数.
函数 叫做幂函数,其中 x 是自变量,a 是常数〔这里我们只讨论 a 是有理
数 n 的情况〕.
对数与对数函数
学习目标
1、理解对数概念; 2、能进展对数式与指数式的互化; 3、掌握对数的运算
性质; 4、培养应用意识、化归意识。 5、掌握对数函数的概念; 6、掌握对
数函数的图像的性质; 7、掌握比拟对数大小的方法,培养应用意识; 8、培
养图形结合、化归等思想。
知识要点:
我们在学习过程遇到 2x=4 的问题时,可凭经历得到 x=2 的解,而一旦出现
2x=3 时,我们就无法用已学过的知识来解决,从而引入出一种新的运算——对
数运算。
1.对数的定义:
如果 ab=N(a>0,且 a≠1),那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作:logaN=b。
其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
注意:由于 a>0,故 N>0,即 N 为正数,可见零和负数没有对数。
上面的问题:
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通常将以 10 为底的对数叫做常用对数,
数叫做自然对数,
2.对数式与指数式的关系
。
。以 e 为底的对
由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且
可以互相转化。它们的关系可由以下图表示。
由此可见 a,b,N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。
3.三个对数恒等式
由于对数式与指数式可以互化,因此指数的恒等转化为对数恒等式。在〔a>0,
a≠1〕前提下有:
4. 三个运算法那么:
指数的运算法那么通过转化可变为对数的运算法那么。在 a>0,a≠1 的前提
下有:
(1)
令 am=M,an=N,那么有 m=logaM,n=logaN,
∵ ,∴ m+n=loga(MN),即
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