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具有足够的吸引力,所有人都感兴趣,并传播。
在一定时间会失去兴趣。
传染病问题中的 SIR 模型
摘要:
2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间,给人们的生命财产带来极大的危害。长期
以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,探
索制止传染病蔓延的手段等,一直是我国与全世界有关专家和官员关注的课题。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点,我们不是从医学的角度一一分析
各种传染病的传播,而是从一般的传播机理分析建立各种模型,如简单模型, SI 模型,
SIS 模型,SIR 模型等。在这里我采用 SIR〔Susceptibles,Infectives,Recovered〕模型来
研究如天花,流感,肝炎,麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病,它主要沿用由
Kermack 与 McKendrick 在 1927 年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模
型来描述疾病开展变化的过程和传播规律,预测疾病发生的状态,评估各种控制措施的效
果,为预防控制疾病提供最优决策依据,维护人类健康与社会经济开展。
关键字:传染病;动力学;SIR 模型。
一﹑模型假设
1. 在疾病传播期所考察的地区围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
总人口 数 N(t) 不变, 人口 始终 保持 一个 常数 N 。人 群分为以 下三 类: 易感 染者
(Susceptibles),其数量比例记为 s(t),表示 t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人
数占总人数的比例;感染病者(Infectives),其数量比例记为 i(t),表示 t 时刻已被感染
成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例;恢复者(Recovered),其数量比例记
为 r(t),表示 t 时刻已从染病者中移出的人数〔这局部人既非已感染者,也非感染病者,
不具有传染性,也不会再次被感染,他们已退出该传染系统。〕占总人数的比例。
2. 病人的日接触率〔每个病人每天有效接触的平均人数〕为常数 λ,日治愈率
〔每天被治愈的病人占总病人数的比例〕为常数 μ,显然平均传染期为 1/μ,传染期
接触数为 σ=λ/μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距,这是因为模型中假
设有效接触率传染力是不变的。
二﹑模型构成
在以上三个根本假设条件下,易感染者从患病到移出的过程框图表示如下:
在假设 1 中显然有:
1 / 10
s i
λsi
r
μi