验证三角形A2B2C2的面积是正三角形ABC的面积的七分之一

题目29：（1）设有任意正三角形ABC，其三条边BC、CA，AB上分别有一点A1、B1、C1，而且有AC1=2C1B，BA1=2A1C，CB1=2B1A。编制程序由线段AA1、BB1、CC1相交而成的三角形A2B2C2的面积是正三角形ABC的面积的七分之一。（2）对于任意的四边形ABCD，其对角线AC与BD的中点分别是M、N，AB、CD的延长线交于R。验证三角形RMN的面积是ABCD面积的四分之一。 ### 验证三角形A2B2C2的面积是正三角形ABC的面积的七分之一 #### 题目背景与分析 本题目主要涉及几何中的三角形面积问题，特别是通过构造特定的点来形成新的三角形，并计算新旧三角形之间的面积比例。 #### 颖解一：三角形A2B2C2面积计算 **题目描述**：假设有一个任意正三角形ABC，其三条边上分别有点A1、B1、C1，且满足AC1 = 2C1B、BA1 = 2A1C、CB1 = 2B1A。需要证明由线段AA1、BB1、CC1相交而成的三角形A2B2C2的面积是正三角形ABC面积的七分之一。 **解决思路**： 1. **确定关键点的位置**：根据题目描述，可以通过给定的比例关系来确定A1、B1、C1的具体位置。 2. **计算关键点的坐标**：利用点的坐标公式来求得这些点的具体坐标。 3. **构造新三角形**：通过求交点的方法找到三角形A2B2C2的三个顶点。 4. **计算面积**：使用面积公式计算原三角形ABC和新三角形A2B2C2的面积。 5. **验证面积比例**：比较两个三角形的面积，确认是否符合题目要求。 **具体步骤**： - **定义坐标系**：假设正三角形ABC的顶点坐标为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。 - **确定A1、B1、C1坐标**：根据题目条件，可以得出A1、B1、C1的坐标分别为A1((2/3)x2 + (1/3)x1, (2/3)y2 + (1/3)y1)、B1((2/3)x3 + (1/3)x2, (2/3)y3 + (1/3)y2)、C1((2/3)x1 + (1/3)x3, (2/3)y1 + (1/3)y3)。 - **求交点坐标**：利用线性方程组或向量方法，找到三角形A2B2C2的三个顶点坐标。 - **计算面积**：使用海伦公式或其他方法计算两个三角形的面积。 - **验证比例**：对比两个三角形的面积，证明新三角形面积确实是原三角形面积的七分之一。 ### 验证三角形RMN的面积是四边形ABCD面积的四分之一 #### 颖解二：四边形ABCD面积分割 **题目描述**：对于任意的四边形ABCD，其对角线AC与BD的中点分别是M、N，AB、CD的延长线交于R。需要验证三角形RMN的面积是四边形ABCD面积的四分之一。 **解决思路**： 1. **确定关键点的位置**：明确对角线AC与BD的中点M和N的位置。 2. **计算关键点的坐标**：利用中点坐标公式来确定M和N的坐标。 3. **构造新三角形**：利用延长线AB和CD的交点R来构建三角形RMN。 4. **计算面积**：通过合适的公式计算四边形ABCD以及三角形RMN的面积。 5. **验证面积比例**：比较两个图形的面积，确认是否符合题目要求。 **具体步骤**： - **确定坐标**：设四边形ABCD的四个顶点坐标为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)、D(x4, y4)。 - **计算M和N的坐标**：M的坐标为((x1 + x3) / 2, (y1 + y3) / 2)，N的坐标为((x2 + x4) / 2, (y2 + y4) / 2)。 - **求R点坐标**：通过求直线AB和CD的方程及其交点坐标，确定R点位置。 - **计算面积**：利用向量叉积等方法计算四边形ABCD和三角形RMN的面积。 - **验证比例**：对比两个图形的面积，证明三角形RMN的面积确实是四边形ABCD面积的四分之一。 以上两个问题都涉及到了几何形状的构造与面积的计算，通过对关键点的确定、坐标计算以及面积公式的应用，我们可以有效地解决问题并验证题目结论。