Introduction to Low Density Parity Check Codes and Sum-Product

低密度奇偶校验码（Low Density Parity Check codes，简称LDPC）是一种在通信领域广泛应用的纠错码，因其优异的解码性能和接近香农极限的能力而受到重视。LDPC码由Robert Gallager在1960年代首次提出，但当时由于存储设备的成本高昂，未能得到广泛应用。直到1990年代末期，随着计算机科学和信息技术的发展，LDPC码才重新被发现并迅速成为研究热点。 ### LDPC码的特点 1. **优异的解码性能**：LDPC码能够提供接近香农极限的解码性能，即在高斯白噪声信道下，其误码率可以无限接近理论上的最佳值。 2. **接近香农极限**：例如，有报道指出，在码长为一百万的不规则LDPC码中，与香农极限的距离仅为0.3dB（Richardson等人）。 3. **良好的块错误性能**：LDPC码在处理块错误方面表现出色，几乎不存在错误地板现象。 4. **最小距离与码长成正比**：在高概率下，LDPC码的最小距离与其码长成正比，这意味着其纠错能力随码长增加而增强。 5. **线性时间可解码**：LDPC码的解码可以在线性时间内完成，这使得它们非常适合并行实现，提高了解码速度和效率。 ### LDPC码定义 LDPC码是一种线性码，通过一个非常稀疏的奇偶校验矩阵定义。该矩阵中非零元素的数量通常远小于其大小，这使得LDPC码在存储和处理上具有优势。例如，对于一个码率为1/2的LDPC码，如果矩阵的尺寸为\(n \times m\)，则矩阵中的非零元素数量大约是3n，其中n是码长，m是监督位的数量。 ### Gallager的构造方法 Gallager最初提出的构造方法涉及使用一个高度稀疏的矩阵，并通过对矩阵的第一块进行列置换来生成其他块。这种构造方法产生了规律的LDPC码。 ### 编码与解码 编码过程通过生成矩阵G完成，G是一个\(k \times n\)的矩阵，其中\(k\)是信息位的数量，\(n\)是码长。编码器接收消息向量\((m_1, m_2, ..., m_k)\)，并产生一个码字\((c_1, c_2, ..., c_n)\)。解码过程则使用了sum-product算法，这是一种迭代算法，通过在图上执行消息传递来估计接收到的码字最有可能对应的消息。 ### 历史回顾 - **Gallager的工作**：1962年，Gallager在《信息论与电子学》杂志上发表了关于LDPC码的开创性工作，但当时并未引起广泛关注。 - **Tanner的贡献**：1981年，Tanner提出了基于图的代码定义，这一概念后来对LDPC码的理解和应用产生了深远影响。 - **Turbo码的出现**：1993年，Berrou等人在国际通信会议上介绍了Turbo码，以及迭代解码技术，这一进展促进了对迭代解码的研究。 - **LDPC码的再发现**：1999年，MacKay重新发现了LDPC码，并进行了广泛的模拟，证明了LDPC码的优秀性能，进一步推动了其在学术界和工业界的应用。 ### 总结 LDPC码因其独特的性能特点，在无线通信、卫星通信、光通信等领域得到了广泛的应用。通过结合高效的编码与解码算法，LDPC码为高数据速率和高可靠性传输提供了可能。随着研究的深入和技术的进步，LDPC码的应用前景将更加广阔。