这篇报告涵盖了五个主要的算法类型：递归与分治、动态规划、贪心、回溯以及分支限界。我们来深入理解这些算法的基本概念和应用。
1. **递归与分治策略**：
- 递归是一种解决问题的方法，它通过调用自身来解决问题的子问题。在给定的问题中，分解整数为不同因数的过程就是一个典型的递归问题。当分解到无法再分解的1时，递归结束。
- 分治策略是将大问题分解成若干个相似的小问题，分别解决后再合并结果。在这个例子中，对于每个因数i，我们将原数n除以i，然后对结果继续进行因式分解，直到所有可能的因数都被处理。
2. **动态规划**：
- 动态规划是一种通过解决子问题来构建全局最优解的方法，通常用于处理具有重叠子问题和最优子结构的问题。在数字三角形问题中，从顶到底寻找最大路径的和就是动态规划的一个经典实例。
- 从底部开始，我们可以计算每一层每个元素到达上一层的最优点的值，逐层向上更新，最终得到整个三角形的最长路径。这种方法避免了重复计算，提高了效率。
3. **贪心算法**：
- 贪心算法在每一步选择局部最优解，希望这些局部最优解组合成全局最优解。虽然这个问题没有直接涉及贪心算法，但类似的问题，比如找最小硬币组合，就可以用贪心方法来解决。
4. **回溯法**：
- 回溯法是一种试探性的解决问题方法，当发现当前选择可能导致无法达到目标时，会撤销选择并尝试其他路径。在解决如八皇后问题、迷宫求解等优化问题时，回溯法非常有效。
5. **分支限界法**：
- 分支限界法和回溯法类似，都是用于搜索问题的解决方案，但更注重于限制搜索空间。它通过剪枝操作减少无效搜索，以提高效率。例如，在旅行商问题或0-1背包问题中，分支限界法能有效地找到近似最优解。
在实际编程中，每个算法都有其适用的场景和局限性。递归与分治适合处理能被分解的问题，动态规划适用于有最优子结构和重叠子问题的情况，贪心算法在问题局部最优解能保证全局最优解时非常有效，而回溯和分支限界则用于解决搜索和优化问题。理解和掌握这些算法是成为优秀程序员的关键，它们可以帮助我们高效地解决各种复杂的计算问题。
