根据给定的线性代数试题内容，我们可以总结出以下重要的知识点：
### 一、单项选择题
#### 1. 非齐次方程组无解的情况
题目描述了一个非齐次线性方程组无解的情形。非齐次线性方程组的一般形式为 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)，其中 \(A\) 是系数矩阵，\(\mathbf{x}\) 是未知数向量，\(\mathbf{b}\) 是常数项向量。当非齐次线性方程组无解时，这通常意味着系数矩阵 \(A\) 的列向量不能生成常数向量 \(\mathbf{b}\) 所在的空间。具体来说，当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，非齐次线性方程组无解。
#### 2. 二次型的正定性判断
题目中给出的是一个二次型 \(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) 的正定性判断问题。二次型正定性是指对于所有的非零向量 \(\mathbf{x} = (x_1,x_2,\ldots,x_n)^T\)，都有 \(f(\mathbf{x}) > 0\)。题目中未给出具体的二次型表达式，但可以依据一般原则进行分析。如果二次型对应的矩阵是对称的并且其所有特征值都大于0，则该二次型为正定；如果存在至少一个特征值小于0，则该二次型为负定；如果所有特征值非负但至少有一个等于0，则该二次型为半正定；如果既有正特征值也有负特征值，则该二次型为不定。
#### 3. 特征值与矩阵秩的关系
题目探讨了三阶方阵的特征值与其秩之间的关系。矩阵的秩是指矩阵行向量或列向量的最大线性无关组的数量。对于一个矩阵而言，如果它的秩小于它的阶数，那么它一定存在0特征值。因此，如果一个三阶方阵的特征值为 \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\)，并且已知这些特征值的具体数值，那么可以通过观察是否有0特征值来判断矩阵是否为满秩。
### 二、填空题
#### 1. 向量组的秩
向量组的秩指的是向量组中最大线性无关向量的数量。对于给定的向量组，可以通过求解向量组的极大线性无关组来得到其秩。例如，如果给定向量组为 \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3\)，那么首先将其写成矩阵形式，然后通过高斯消元法化简，最终得到的非零行数即为向量组的秩。
#### 2. 非齐次线性方程组解的性质
对于非齐次线性方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)，如果 \(\mathbf{x}_1\) 和 \(\mathbf{x}_2\) 都是它的解，那么它们之间的差 \(\mathbf{x}_2 - \mathbf{x}_1\) 必然是齐次线性方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 的解。
#### 3. 相似矩阵的特征值
两个矩阵相似意味着它们具有相同的特征值。如果矩阵 \(A\) 和 \(B\) 相似，并且 \(A\) 的特征值已知为 \(\lambda_1, \lambda_2\)，那么 \(B\) 的特征值也为 \(\lambda_1, \lambda_2\)。
#### 4. 二次型最大值
二次型的最大值通常与二次型对应的矩阵的最大特征值有关。如果二次型对应的矩阵是对称的，那么该矩阵的最大特征值对应的特征向量就是使得二次型取得最大值的方向。
#### 5. 线性变换下的坐标变换
线性变换下向量坐标的变换可以通过矩阵乘法来实现。如果已知向量空间 \(V\) 中向量 \(\mathbf{v}\) 在基 \(\mathbf{B}\) 下的坐标为 \(\mathbf{x}\)，并且已知线性变换 \(T\) 在基 \(\mathbf{B}\) 下的矩阵表示为 \(A\)，那么 \(\mathbf{v}\) 在经过变换后的新坐标为 \(A\mathbf{x}\)。
### 三、解答题
#### 1. 矩阵运算
矩阵的加减、乘法等基本运算是线性代数中的基础内容，解决此类问题通常需要按照定义直接计算。
#### 2. 求逆矩阵
求矩阵的逆矩阵通常可以通过高斯-约旦消元法或伴随矩阵的方法来进行。对于较小的矩阵（如2×2、3×3），直接应用公式求解更加简便。
#### 3. 线性变换核的基
线性变换核是指变换到0的向量组成的集合。找到线性变换核的基通常需要求解相应的齐次线性方程组。
#### 4. 向量组的线性相关性
向量组的线性相关性可通过构建向量组的矩阵并求解其秩来判断。如果向量组的秩等于向量个数，则该向量组线性无关；否则线性相关。
#### 5. 特征值与特征向量
求矩阵的特征值通常需要求解特征多项式的根，而求解特征向量则需解对应特征值下的齐次线性方程组。
### 四、解答题
#### 1. 线性变换的复合
线性变换的复合可以通过对应的矩阵相乘来实现。
### 五、解答题
#### 1. 非齐次线性方程组的解
非齐次线性方程组的解可以通过求解对应的增广矩阵来获得。根据增广矩阵的秩与系数矩阵的秩之间的关系，可以判断方程组有唯一解、无穷多解还是无解。
### 六、解答题
#### 1. 二次型正定性的判定
二次型正定性的判定通常涉及到求解二次型对应的矩阵的所有特征值。如果所有特征值均为正，则该二次型正定。
### 七、证明题
#### 1. 正交矩阵的性质
证明两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵，可以通过利用正交矩阵的定义（即 \(AA^T = A^TA = I\)）来推导。
### 八、证明题
#### 1. 行列式的性质
证明行列式的性质通常需要利用行列式的定义以及一些基本的行列式变换规则。
### 九、证明题
#### 1. 线性变换的定义
证明给定的变换是否为线性变换，通常需要验证线性变换的两个基本性质：加法性和数乘性。对于题目中的变换 \(T\)，需要验证对于任意的多项式 \(p(x)\) 和 \(q(x)\) 以及任意的标量 \(c\)，都有 \(T(p(x) + q(x)) = T(p(x)) + T(q(x))\) 以及 \(T(c \cdot p(x)) = c \cdot T(p(x))\)。
