17第十七章推理与证明.doc
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推理与证明是数学中至关重要的思维方式,它们是数学的基础,帮助我们从已知的事实或假设中得出新的结论。本章主要介绍了两种基本的推理方法:合情推理和演绎推理。 合情推理分为归纳推理和类比推理。归纳推理是从部分到整体、从个别到一般的推理过程,通常用于从有限的事例中概括出普遍规律。例如,在给定的数字序列7152, 11+<;5.516.52, 11+<;331932中,通过观察发现每个被开方数之和都是22,可以归纳出一般性条件:若a和b是正实数,且满足a+b=22,则2√ab≤11。这是利用归纳推理发现的规律。 类比推理则是从特殊到特殊的推理,通过比较不同对象之间的相似性来得出新的结论。例如,从抛物线的性质“过焦点的弦中,垂直于对称轴的弦最短”可以类比到椭圆,得出“过椭圆焦点的弦中,垂直于长轴的弦最短”的类似性质。 演绎推理是一种从一般到特殊的推理方式,它基于三段论的形式,即大前提、小前提和结论。在给定的定义[x]为不超过x的最大整数,可以演绎推理出[-2.1]为-3,因为-3是不超过-2.1的最大整数。 在实际应用中,合情推理常用于发现规律,提出猜想,而演绎推理则用于证明这些猜想的正确性。例如,通过观察一系列三角恒等式23135sin75sin15sin020202=;23150sin90sin30sin020202=;23165sin105sin45sin020202=;23180sin120sin60sin020202=,可以归纳出一般性结论23)60(sinsin)60(sin02202=,然后使用演绎推理中的三角恒等变换证明这个结论的正确性。 在解决实际问题时,如蜜蜂蜂巢的数量问题,可以通过递推关系找到规律,例如第一幅图有1个蜂巢,第二幅图有7个蜂巢,第三幅图有19个蜂巢,通过观察可以发现f(n) = f(n-1) + 2f(n-2),从而求出第四幅图的蜂巢数f(4)以及一般公式f(n)。 总结起来,合情推理与演绎推理是数学中的核心思维工具,它们相辅相成,合情推理提供观察和猜想,演绎推理负责验证和证明。在学习和应用这两个概念时,不仅要掌握其定义和特点,还要学会灵活运用,以解决各种数学问题。
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