The design and implementation of a new algorithm for solving large nonlinear programming
problems is described. It follows a barrier approach that employs sequential
quadratic programming and trust regions to solve the subproblems occurring in the
iteration. Both primal and primal-dual versions of the algorithm are developed, and
their performance is illustrated in a set of numerical tests.
### 内点法在大规模非线性规划中的应用
#### 概述
本文介绍了一种新的算法设计与实现，该算法旨在解决大规模非线性规划问题。算法采用障碍方法（Barrier Method），结合了序列二次规划（Sequential Quadratic Programming, SQP）与信赖域方法（Trust Region Method）来求解迭代过程中的子问题。此外，文中还开发了原问题和原对偶版本的算法，并通过一系列数值测试展示了它们的表现。
#### 关键技术与方法
**1. 障碍方法（Barrier Method）**
障碍方法是一种解决约束优化问题的有效途径，尤其适用于处理不等式约束。该方法的核心思想是将约束条件转化为目标函数的一部分，通过引入一个称为“障碍函数”的附加项来惩罚违反约束的行为。随着迭代进行，障碍参数逐渐减小，最终逼近原始问题的最优解。
**2. 序列二次规划（SQP）**
序列二次规划是一种广泛应用于解决非线性优化问题的技术。它通过构建一个局部的二次近似模型来逐步逼近全局最优解。在每一步迭代中，SQP算法都会基于当前点的一阶和二阶导数信息构建一个二次规划问题，并求解该子问题以确定搜索方向。这种方法的优点在于能够高效地处理非线性和约束问题，同时保持较好的收敛性能。
**3. 信赖域方法（Trust Region Method）**
信赖域方法是一种全局优化策略，用于控制每次迭代中的步长，以确保算法的稳定性。它通过定义一个“信赖域”来限制每一步迭代的最大步长，从而避免因步长过大而导致的数值不稳定。与传统的线搜索方法相比，信赖域方法在处理大规模非线性问题时更加稳定可靠。
**4. 原问题与原对偶算法**
文中提到开发了原问题和原对偶版本的算法。原问题是指直接针对原始优化问题进行求解的方法；而原对偶算法则是通过求解原问题的对偶问题来间接找到原问题的解。原对偶算法可以提供更强的理论保证，并且在某些情况下能够更有效地利用问题结构，提高计算效率。
#### 实验结果与分析
文中通过一系列数值测试来评估所提出的算法性能。这些测试不仅验证了算法的有效性，还展示了其在处理大规模非线性规划问题时的优越性。具体来说，实验结果表明，无论是原问题版本还是原对偶版本的算法，在处理大规模、复杂度高的非线性规划问题时均表现出了良好的收敛性和稳定性。
#### 结论
本文提出的一种结合障碍方法、SQP和信赖域技术的内点算法为解决大规模非线性规划问题提供了一个强有力的工具。该算法不仅能有效处理非凸问题，还能在变量数量较大的情况下表现出色。通过开发原问题和原对偶版本的算法，并结合数值测试的结果，证明了这一方法在实际应用中的可行性和优势。对于那些需要高效解决复杂非线性规划问题的应用领域而言，该算法无疑是一个重要的进展。
