离散数学 题库 答案

离散数学是计算机科学、数学和逻辑学的重要基础学科，主要研究离散的、非连续的对象，如集合、图、树、序列等。本题库针对离散数学习题提供了详细的答案，帮助学生进行分类强化训练，提升理解和应用能力。 1. 永真蕴含式与永真式： 永真蕴含式指的是无论条件是否成立，结论总是为真的表达式。例如，公式（1）"Q=>Q→P" 和（4）"P(PQ)=>P" 都是永真蕴含式，因为它们的结论在任何情况下都为真。永真式是指不论变量取何值，公式始终为真的表达式，如（2）"Q→Q"，（3）"(PQ)→P" 和（4）"P→(PQ)"。 2. 命题与真值： 命题是能断定真假的陈述。例如，（1）"北京是中华人民共和国的首都" 是一个真命题，真值为 T；（2）"陕西师大是一座工厂" 是假命题，真值为 F；而（3）"你喜欢唱歌吗？" 和（5）"前进！" 并非陈述性，因此不是命题。 3. 命题逻辑与否定： （6）"存在一些人是大学生" 的否定是 "所有人都不是大学生"；（7）"所有的人都是要死的" 的否定是 "有些人不会死"。 命题的否定会改变其真值，永真式的否定是永假式，如（11）"2 是偶数或 -3 是负数" 的否定是 "2 不是偶数且 -3 不是负数"。 4. 量词与辖域： 在谓词公式中，量词的辖域指它所作用的变量范围。例如，在公式（14）"∀x(P(x)∨∃yR(y))Q(x)" 中，量词 ∀x 的辖域是整个表达式 "P(x)∨∃yR(y)"。 5. 谓词与个体域： （8）"∀x∃y(x+y=0)" 表示对任意整数 x 存在整数 y 使得 x+y=0，这是真的；而（9）中的命题在正整数集合中不成立，因为没有正整数的乘积等于自身。 （10）"∃x(P(x)∨Q(x))" 在自然数、实数和复数中均成立，因为至少有一个奇数或偶数。 6. 集合论与幂集： （16）集合 A={a,{a}} 中，{a} 是 A 的元素，但 {a} 不是 A 的子集，所以（2）是错误的。 （18）集合 S 的基数为 5，则幂集 P(S) 的基数为 2^5 = 32。 （20）集合 A1 至 A3 相等，因为它们都包含两个元素 a 和 b，A4 和 A5 分别表示不同的集合，而 A6 是 A1 至 A3 的另一种表示形式。 7. 集合关系： （19）如果 P={x|(x+1)^4 且 x>0}，Q={x|5x + 16<0 且 x>0}，则 Q 是 P 的真子集，即 Q<P，所以（3）是正确的。 （21）若 A-B=∅，则 A 可能为空集（A=∅），B 可能为空集（B=∅），或者 A 是 B 的子集（AB），但不可能是 BA，因为如果 A 不包含任何 B 的元素，那么 B 不能是 A 的子集。 （22）此部分未提供具体命题，无法给出判断。 通过这些习题，学生可以深入理解离散数学中的基本概念，包括逻辑运算、量词、命题、集合论等，为后续的理论学习和编程实践打下坚实基础。