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解析数论

author：一扶苏一

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数论函数

定义域为正整数集的函数称为数论函数。显而易见的是，对于一个数论函数，其在

处的指构成了一个级数。该级数与函数是一一对应关系。因此，下文将模糊化函数

与级数的区别。二者的专有名词可能被混用。例如卷积，通项等。

下文常用一个或多个小写/大写/希腊字母来表示一个数论函数，例如。

Dirichlet 卷积

数论函数与的 Dirichlet 卷积记为。其定义为：

通过定义，容易证明其结合律。因此下文不再区分二者，统一写作

。

同样的，显然其满足交换律。

现在定义一些简单的数论函数：

幺元函数。该函数在处的值为，其余处的值为。

恒函数。该函数在任意正整数处的值均为。

标号函数。该函数的值为自变量的值。

对于幺元函数，通过定义容易证明对于任意数论函数，都有（因为在定义

式中只有的一项有的贡献，其余项贡献均为）。

对于恒函数，通过定义可以证明，对于任意数论函数，的第项为对自身的因子

的值求和的结果。即。

现在定义对于一个数论函数，其逆元（简称逆）为满足的函数。可以证明，这样的是

唯一的。

求逆元的方法是直接套定义式，把除以外的项都移到等号另一侧，得到

先算出，然后递归求解即可。

这是一个构造性的递推算法，容易发现，只要存在，那么函数一定可以通过该算法构造出。而

存在的充要条件显然是。因此数论函数存在逆元的充要条件为。

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