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矩阵的特征值和特征向量.doc
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. .
第五章矩阵的特征值和特征向量
来源:线性代数精品课程组线性代数精品课程组
1.教学目的和要求:
(1)理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量.
(2)了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似
对角矩阵.
(3)了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.
2.教学重点:
(1)会求矩阵的特征值与特征向量.
(2)会将矩阵化为相似对角矩阵.
3.教学难点:将矩阵化为相似对角矩阵.
4.教学内容:
本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念,在此根底上讨论矩阵的对角化问
题.
§1矩阵的特征值和特征向量
定义 1设 是一个 阶方阵, 是一个数,如果方程
(1)
存在非零解向量,那么称 为 的一个特征值,相应的非零解向量 称为属于特征值
的特征向量.
〔1〕式也可写成,
(2)
这是 个未知数 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式
, (3)
即
上式是以 为未知数的一元 次方程,称为方阵 的特征方程.其左端 是
的 次多项式,记作 ,称为方阵 的特征多项式.
. .word.zl.
. .
= =
=
显然, 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数 X 围内恒有解,其个数为方程
的次数〔重根按重数计算〕,因此, 阶矩阵 有 个特征值.
设 阶矩阵 的特征值为 由多项式的根与系数之间的关系,不难
证明
〔ⅰ〕
〔ⅱ〕
假设 为 的一个特征值,那么 一定是方程 的根,因此又称特征根,
假设 为方程 的 重根,那么 称为 的 重特征根.方程
的每一个非零解向量都是相应于 的特征向量,于是我们可以得到求矩阵 的全部特征值
和特征向量的方法如下:
第一步:计算 的特征多项式 ;
第二步:求出特征方程 的全部根,即为 的全部特征值;
第三步:对于 的每一个特征值 ,求出齐次线性方程组:
的一个根底解系 ,那么 的属于特征值 的全部特征向量是
〔其中 是不全为零的任意实数〕.
例 1求 的特征值和特征向量.
解 的特征多项式为
. .word.zl.
. .
=
所以 的特征值为
当 =2 时,解齐次线性方程组 得
解得 令 =1,那么其根底解系为: =
因此,属于 =2 的全部特征向量为: .
当 =4 时,解齐次线性方程组 得 令 =1,
那么其根底解系为: 因此 的属于 =4 的全部特征向量为
[注]:假设 是 的属于 的特征向量,那么 也是对应于 的特征向量,因而
特征向量不能由特征值惟一确定.反之,不同特征值对应的特征向量不会相等,亦即一个
特征向量只能属于一个特征值.
例 2 求矩阵
的特征值和特征向量.
解 的特征多项式为
= = ,
所以 的特征值为 = =2〔二重根〕, .
对于 = =2,解齐次线性方程组 .由
,
. .word.zl.
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gjmm89
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