北交大运筹学通论4.pdf

运筹学是应用数学的一个分支，主要研究如何通过数学模型和优化方法来处理具有大量资源和多种约束条件的实际问题，以达到最优决策的目的。线性规划是运筹学中非常重要的一个子领域，它主要研究在线性约束条件下，如何优化（即最大化或最小化）线性目标函数的问题。北交大运筹学通论第四章主要涵盖了线性规划的几个重要知识点，包括二维问题的图解法、线性规划的标准形、多面集的基本理论、单纯形方法、最优性条件、对偶原理与对偶单纯形法、对偶变量的经济含义、灵敏度分析以及相关软件的使用。 二维问题的图解法是一种直观的学习线性规划的方法，它通过在二维平面上绘制线性约束条件形成的可行解区域（多边形或凸多边形），然后找出目标函数达到最优值时对应的解。这种方法仅适用于变量个数为两个的线性规划问题。 线性规划的标准形是指所有不等式约束均转化为小于等于的形式，等式约束转化为等于形式，且所有变量均为非负变量的线性规划问题形式。对于非标准形式的线性规划问题，可以通过引入松弛变量、剩余变量或人工变量等方法转换成标准形。 多面集的基本理论涉及了线性规划问题解集的性质，其解集是由线性约束条件定义的凸多面体。在高维空间中，这些凸多面体被称为多面集。线性规划问题的最优解一定位于凸多面集的顶点或边上，这就是线性规划的顶点定理。 单纯形方法是一种解决线性规划问题的算法，通过迭代的方式，从可行解集中找到最优解。该方法从可行域的一个顶点开始，通过改进目标函数值，按照某种规则移动到相邻顶点，直到找到最优解为止。 最优性条件涉及线性规划问题中目标函数取得最优值的条件，主要讨论了当目标函数值在可行域的边界上无法改进时，此时的顶点即为最优解。 对偶原理在运筹学中占有重要的地位，它为每个线性规划问题构造了一个对应的对偶问题，并且证明了原始问题和对偶问题之间的关系。对偶问题不仅可以提供原始问题的最优解，而且在某些情况下，求解对偶问题比求解原始问题更为高效。 对偶单纯形法是单纯形方法的一个变种，它在每一步迭代中保持当前解为对偶可行解，然后通过寻找进入基变量和离开基变量，使得目标函数值得到改进。 对偶变量的经济含义是指在某些情况下，对偶变量可以解释为资源的影子价格或机会成本。这些经济含义对于理解线性规划模型在经济管理和生产决策中的应用非常重要。 灵敏度分析是研究在模型参数发生变化时，最优解或最优值如何变化的分析方法。通过对问题进行灵敏度分析，决策者可以了解参数的变动对最优决策的影响程度，从而在实际操作中做出更加灵活的决策。 相关软件的使用部分介绍了如何利用专业的数学软件来解决线性规划问题。Matlab和Lindo是两种常用的数学优化软件。Matlab通过其优化工具箱提供了强大的线性规划求解能力，Lindo则是一款专门用于求解线性、非线性以及整数规划问题的软件。通过这些软件，可以更加便捷地解决复杂的线性规划问题，从而将更多的精力投入到模型的构建和分析中去。