121《函数的概念》.ppt
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**函数的概念** 函数是数学中一个基础且重要的概念,它描述了两个集合之间的一种特定关系。在函数中,一个集合的元素(称为自变量)通过一个确定的规则(对应法则)与另一个集合的元素(称为因变量)一一对应。这个对应法则确保了每个自变量的值都唯一决定了一个因变量的值。 **函数的定义** 设A和B是两个非空数集,如果存在一个对应法则f,使得对于A中的每一个元素x,B中都有唯一的元素y与之对应,那么称y是x的函数,记为y=f(x),其中x属于A。这里的A被称为函数的定义域,即所有自变量x的值组成的集合。B中的元素y构成的集合被称为函数的值域,即所有因变量y的值组成的集合。 **理解函数** 理解函数的关键在于把握其三个要素: 1. **定义域**:函数中所有可能的自变量值的集合。 2. **对应法则**:规定如何从一个集合的元素映射到另一个集合的规则。 3. **值域**:由对应法则确定的所有因变量值的集合。 例如,在例1中,我们需要判断几个从A到B的对应是否为函数。这通常涉及到检查是否存在一对一的对应关系,即对于A中的每个x,B中是否存在唯一对应的y。 **函数的图象** 函数的图象是函数关系的几何表现,通常在二维坐标系中表示。例如,例3中展示了四个图形,我们需要判断哪些是函数的图象,关键在于看每个x值是否对应唯一一个y值。函数图象必须满足一对一或一对多的关系,但不能多对一。 **函数的等价性** 两个函数表示同一个函数,需要它们的三要素——定义域、对应法则和值域完全相同。例如,例4中比较了四个函数,只有当它们的定义域和对应法则完全一致时,这两个函数才被认为是相同的。 **函数的确定性** 如果一个函数y=f(x)的定义域为全体实数R,值域为[0, +∞),那么我们可以知道这个函数是确定的,因为对于每个x值,函数都会返回一个在[0, +∞)范围内的唯一y值。 **函数相同的条件** 讨论两个函数是否相同,需要考虑以下情况: 1. **定义域相同,值域相同**:这并不意味着函数相同,因为它们的对应法则可能不同。 2. **定义域相同,对应法则相同**:在这种情况下,两个函数是相同的,因为它们的关系完全一致。 3. **对应法则相同,值域相同**:同样,仅凭这两个条件不能确定函数相同,因为定义域可能不同。 函数的概念不仅包括其基本定义,还包括如何理解和比较不同的函数。掌握函数的这些基础知识对于进一步学习数学,尤其是在微积分、线性代数等领域是至关重要的。通过数形结合的思想、举反例的方法以及从特殊到一般的探索方式,我们可以更好地理解和应用函数。
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