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实际问题与二元一次方程组应用题归纳(整理).pdf
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2022-01-19
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二元一次方程组在解决实际问题中扮演着至关重要的角色,它是一种将复杂情境转化为数学模型的方法。列方程组解应用题的核心思想在于识别并建立未知数与已知量之间的关系,确保所列方程能准确反映问题的本质。 列方程组时需遵循三个原则:方程两边的量必须同类且单位一致,确保数值相等。例如,在行程问题中,追击问题的等量关系是两者行程差等于初始间距,相遇问题则是双方行程之和等于总路程。航行问题涉及顺水速度、逆水速度,它们与船在静水中的速度及水速之间的关系需要通过方程来表达。 工程问题中,工作效率、工作时间和工作量的关系是固定不变的,即工作效率乘以工作时间等于工作量。在商品销售利润问题中,利润、售价、成本和利润率之间有明确的算术关系。储蓄问题涉及到本金、利息、本息和、期数、利率以及利息税等,其基本公式如利息=本金×利率×期数等,对于理解银行储蓄至关重要。 接着,我们还有配套问题,其中关键的等量关系是各部分比例的对应一致性。增长率问题中,原量与增长后的量通过增长率连接,如原量×(1+增长率)=增长后的量。和差倍分问题、数字问题、浓度问题、几何问题、年龄问题以及优化方案问题,都有各自独特的等量关系和解题策略。 解决实际问题时,列二元一次方程组的一般步骤包括:审题,找出等量关系,列方程组,解方程,最后作答。在回答中,务必检查结果的合理性,明确单位,确保符合实际情境。 总结来说,二元一次方程组是解决涉及多个变量的实际问题的强大工具。它覆盖了广泛的应用场景,从行程、工程到商品销售、储蓄,甚至年龄、几何和浓度问题。熟练掌握列方程组的技巧和解题步骤,能帮助我们更好地应对现实生活中的各种数学挑战。
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实际问题与二元一次方程组题型归纳
知识点一:列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,
找出题目中的相等关系 . 一般来说, 有几个未知数就列出几个方程, 所列方程必须满足: (1)方程两边
表示的是同类量; (2)同类量的单位要统一; (3)方程两边的数值要相等 .
知识点二:列方程组解应用题中常用的基本等量关系
1.行程问题:
(1)追击问题:追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行。这类问题比较直观,
画 线 段 ,用 图 便 于 理解 与 分 析 。 其 等 量 关 系 式 是 :两 者 的 行 程差 = 开 始 时 两 者 相 距 的 路 程 ;
; ;
(2)相遇问题 :相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行。这类问题也比较直
观,因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是:双方所走的路程之和=总路程。
(3)航行问题:①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度;
②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度;
③顺水速度-逆水速度= 2×水速。
注意:飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行, 解题方法与船顺水航行、 逆水航行问题类
似。
2.工程问题: 工作效率×工作时间 =工作量 .
3.商品销售利润问题:
(1)利润=售价-成本 (进价);(2) ;(3)利润=成本(进价)×利润率;
标价=成本 (进价 )×(1+利润率 );(5)实际售价=标价×打折率;
注意:“商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;为负时,就是亏损。打几折就是按标
2
价的十分之几或百分之几十销售。 (例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)
4.储蓄问题:
(1)基本概念
①本金:顾客存入银行的钱叫做本金。 ②利息:银行付给顾客的酬金叫做利息。
③本息和:本金与利息的和叫做本息和。 ④期数:存入银行的时间叫做期数。
⑤利率:每个期数内的利息与本金的比叫做利率。 ⑥利息税:利息的税款叫做利息税。
(2)基本关系式
①利息=本金×利率×期数
②本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金× (1+利率×期数)
③利息税=利息×利息税率=本金×利率×期数×利息税率。
④税后利息=利息× (1-利息税率 ) ⑤年利率=月利率× 12 ⑥ 。
注意: 免税利息 =利息
5.配套问题:
解这类问题的基本等量关系是:总量各部分之间的比例 =每一套各部分之间的比例。
6.增长率问题:
解这类问题的基本等量关系式是:原量× (1+增长率 )=增长后的量;
原量×(1-减少率 )=减少后的量 .
7.和差倍分问题:
解这类问题的基本等量关系是:较大量=较小量+多余量,总量=倍数×倍量 .
8.数字问题:
解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当 n 为整数
时,奇数可表示为 2n+1( 或 2n-1) ,偶数可表示为 2n 等,有关两位数的基本等量关系式为:两位数 =
十位数字 10+个位数字
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9.浓度问题: 溶液质量×浓度=溶质质量 .
10.几何问题: 解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式
11.年龄问题: 解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永远不
会变的
12.优化方案问题:
在解决问题时,常常需合理安排。需要从几种方案中,选择最佳方案,如网络的使用、到不同旅
行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最佳方案。
注意: 方案选择题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点 ,比较几种方案得出最佳
方案。
知识点三:列二元一次方程组解应用题的一般步骤
利用二元一次方程组探究实际问题时,一般可分为以下六个步骤:
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为 “审、找、列、解、答 ”五步,即:
(1)审:通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,并用字母表示其中的两个未知数;
(2)找:找出能够表示题意两个相等关系;
(3)列:根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组;
(4)解:解这个方程组,求出两个未知数的值;
(5)答:在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案 .
要点诠释:
(1)解实际应用问题必须写“答”,而且在写答案前要根据应用题的实际意义, 检查求得 的结果是否
合理,不符合题意的解应该舍去;
(2)“设”、“答”两步,都要写清单位名称;
(3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组 .
(4)列方程组解应用题应注意的问题
①弄清各种题型中基本量之间的关系; ②审题时,注意从文字,图表中获得有关信息; ③注意
用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列 方程组与解方程组时,
4
不要带单位;④正确书写速度单位,避免与路程单位混淆; ⑤在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含
的条件; ⑥列方程组解应用题一定要注意检验。
分类练习:
类型一:列二元一次方程组解决——行程问题
1.甲、乙两地相距 160 千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行, 1 小时
20 分相遇 . 相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回,在汽车再次
出发半小时后追上了拖拉机 . 这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米?
【变式 1】甲、乙两人相距 36 千米,相向而行,如果甲比乙先走 2 小时,那么他们在乙出发 2.5
小时后相遇;如果乙比甲先走 2 小时,那么他们在甲出发 3 小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多
少千米?
【变式 2】两地相距 280 千米,一艘船在其间航行,顺流用 14 小时,逆流用 20 小时,求船在静
水中的速度和水流速度。
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fuhongy
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