### 导数及积分公式详解
#### 一、导数公式
**1. 乘法法则**
对于两个可导函数\(u(x)\)与\(v(x)\)，它们的乘积的导数为：
\[
(uv)' = u'v + uv'
\]
**2. 商法法则**
对于两个可导函数\(u(x)\)与\(v(x)\)，其中\(v(x) \neq 0\)，它们的商的导数为：
\[
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
\]
**3. 幂函数的导数**
若\(f(x) = x^n\)，则其导数为：
\[
f'(x) = nx^{n-1}
\]
**4. 自然对数的导数**
自然对数函数\(f(x) = \ln|x|\)的导数为：
\[
f'(x) = \frac{1}{x}
\]
**5. 指数函数的导数**
指数函数\(f(x) = e^x\)的导数为：
\[
f'(x) = e^x
\]
**6. 一般指数函数的导数**
若\(f(x) = a^x\)（\(a > 0, a \neq 1\)），则其导数为：
\[
f'(x) = a^x \ln(a)
\]
**7. 对数函数的导数**
对数函数\(f(x) = \log_a|x|\)（\(a > 0, a \neq 1\)）的导数为：
\[
f'(x) = \frac{1}{x\ln(a)}
\]
**8. 正弦函数的导数**
正弦函数\(f(x) = \sin(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = \cos(x)
\]
**9. 余弦函数的导数**
余弦函数\(f(x) = \cos(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = -\sin(x)
\]
**10. 正切函数的导数**
正切函数\(f(x) = \tan(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = \sec^2(x)
\]
**11. 余切函数的导数**
余切函数\(f(x) = \cot(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = -\csc^2(x)
\]
**12. 正割函数的导数**
正割函数\(f(x) = \sec(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = \sec(x)\tan(x)
\]
**13. 余割函数的导数**
余割函数\(f(x) = \csc(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = -\csc(x)\cot(x)
\]
**14. 反正弦函数的导数**
反三角函数\(f(x) = \sin^{-1}(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\]
**15. 反余弦函数的导数**
反三角函数\(f(x) = \cos^{-1}(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\]
**16. 反正切函数的导数**
反三角函数\(f(x) = \tan^{-1}(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = \frac{1}{1+x^2}
\]
**17. 反余切函数的导数**
反三角函数\(f(x) = \cot^{-1}(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}
\]
**18. 反正割函数的导数**
反三角函数\(f(x) = \sec^{-1}(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}
\]
**19. 反余割函数的导数**
反三角函数\(f(x) = \csc^{-1}(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}
\]
**20. 双曲正弦函数的导数**
双曲正弦函数\(f(x) = \sinh(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = \cosh(x)
\]
**21. 双曲余弦函数的导数**
双曲余弦函数\(f(x) = \cosh(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = \sinh(x)
\]
**22. 双曲正切函数的导数**
双曲正切函数\(f(x) = \tanh(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = \text{sech}^2(x)
\]
**23. 双曲余切函数的导数**
双曲余切函数\(f(x) = \coth(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = -\text{csch}^2(x)
\]
**24. 双曲正割函数的导数**
双曲正割函数\(f(x) = \text{sech}(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = -\text{sech}(x)\tanh(x)
\]
**25. 双曲余割函数的导数**
双曲余割函数\(f(x) = \text{csch}(x)\)的导数为：
\[
f'(x) = -\text{csch}(x)\coth(x)
\]
#### 二、积分公式
**1. 积分线性组合原则**
如果\(f(x)\)和\(g(x)\)是两个连续函数，则：
\[
\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx
\]
**2. 常数倍原则**
如果\(f(x)\)是连续函数且\(k\)是常数，则：
\[
\int k \cdot f(x) dx = k \int f(x) dx
\]
**3. 幂函数的积分**
如果\(n \neq -1\)，则：
\[
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
\]
**4. 自然对数的积分**
\[
\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C
\]
**5. 指数函数的积分**
\[
\int e^x dx = e^x + C
\]
**6. 一般指数函数的积分**
\[
\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C
\]
**7. 对数函数的积分**
\[
\int \ln|x| dx = x\ln|x| - x + C
\]
**8. 正弦函数的积分**
\[
\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C
\]
**9. 余弦函数的积分**
\[
\int \cos(x) dx = \sin(x) + C
\]
**10. 正切函数的积分**
\[
\int \tan(x) dx = -\ln|\cos(x)| + C
\]
**11. 余切函数的积分**
\[
\int \cot(x) dx = \ln|\sin(x)| + C
\]
**12. 正割函数的积分**
\[
\int \sec(x) dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C
\]
**13. 余割函数的积分**
\[
\int \csc(x) dx = \ln|\csc(x) - \cot(x)| + C
\]
**14. 反正弦函数的积分**
\[
\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C
\]
**15. 反余弦函数的积分**
\[
\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \cos^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C
\]
**16. 反正切函数的积分**
\[
\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C
\]
**17. 反余切函数的积分**
\[
\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a}\cot^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C
\]
**18. 反正割函数的积分**
\[
\int \frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \frac{1}{a}\sec^{-1}\left(\frac{|x|}{a}\right) + C
\]
**19. 反余割函数的积分**
\[
\int \frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \frac{1}{a}\csc^{-1}\left(\frac{|x|}{a}\right) + C
\]
**20. 双曲正弦函数的积分**
\[
\int \sinh(x) dx = \cosh(x) + C
\]
**21. 双曲余弦函数的积分**
\[
\int \cosh(x) dx = \sinh(x) + C
\]
**22. 含根号的一般形式的积分**
\[
\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C
\]
**23. 含根号的一般形式的积分**
\[
\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C
\]
**24. 含根号的一般形式的积分**
\[
\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C
\]
**25. 正割与正切函数的积分**
\[
\int \sec^3(x) dx = \frac{1}{2}[\sec(x)\tan(x) + \ln|\sec(x) + \tan(x)|] + C
\]
以上是对导数及积分公式的一个较为全面的整理，涵盖了微积分学中的基本概念与计算技巧。希望这些知识点能够帮助到您在学习或工作中更好地理解和应用相关的数学工具。
