### 凸包做题模板解析
#### 一、引言
在计算机图形学与计算几何领域，凸包问题是一项基础且重要的任务。简单来说，给定一组点集，凸包是指能够包含这些点的最小凸多边形。解决这类问题不仅有助于理解基本的算法原理，而且在实际应用中也有广泛的需求，比如在图像处理、机器人路径规划等领域。本文将通过一个具体的题目来介绍如何构建一个凸包问题的解决方案，并详细解释代码中的关键步骤。
#### 二、题目背景
本题来自于POJ（Pacific Ocean Judge）平台的一个练习题，主要目的是实现一种有效的凸包算法。代码本身已经完成，下面我们将对其进行全面解析，以便更好地理解其工作原理。
#### 三、代码详解
##### 1. 基础数据结构定义
代码首先定义了一些基础的数据结构和宏定义：
```c
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAX(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
const int M = 50005;
typedef struct tagPoint {
double x, y;
} Point;
```
这里定义了一个 `Point` 结构体来存储每个点的坐标信息，同时定义了一个宏 `MAX` 来获取两个数中的最大值，以及一个常量 `M` 表示最多可以处理的点的数量。
##### 2. 主函数与输入处理
```c
int main() {
while (~scanf("%d", &n)) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
scanf("%lf %lf", &points[i].x, &points[i].y);
}
get_convex();
double ans = -1;
for (int i = 0; i < top_convex - 1; i++) {
for (int j = i + 1; j < top_convex; j++) {
ans = MAX(ans, distance2(convex[i], convex[j]));
}
}
printf("%d\n", (int)ans);
}
return 0;
}
```
主函数中首先读取输入的点的数量 `n` 和每个点的坐标信息，并调用 `get_convex()` 函数计算凸包。然后计算凸包上的点之间的最大距离，并输出结果。
##### 3. 凸包计算函数
```c
void get_convex() {
qsort(points, n, sizeof(points[0]), cmp);
// down
int top = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
while (top > 1 &&
vector_product(get_vector(convex[top - 2], convex[top - 1]),
get_vector(convex[top - 1], points[i])) <= 0)
--top;
convex[top++] = points[i];
}
// up
int mid = top;
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
while (top > mid &&
vector_product(get_vector(convex[top - 2], convex[top - 1]),
get_vector(convex[top - 1], points[i])) <= 0)
--top;
convex[top++] = points[i];
}
top_convex = top;
}
```
`get_convex()` 函数是实现凸包的关键部分。首先使用 `qsort()` 对点进行排序，确保最左侧的点排在首位。然后分两步构建凸包：先构建下边界，再构建上边界。具体地，使用向量乘积来判断当前点是否应该加入到凸包中。如果向量乘积小于等于0，则说明当前点不在凸多边形的外部，需要移除最近添加的点，直到当前点满足条件为止。
##### 4. 辅助函数
- `cmp()`：用于比较两个点的位置。
- `vector_product()`：计算两个向量的向量积。
- `get_vector()`：计算两个点构成的向量。
- `distance2()`：计算两点之间的平方距离。
```c
int cmp(const void *a, const void *b) {
Point *A = (Point *)a;
Point *B = (Point *)b;
if (A->x != B->x)
return A->x - B->x;
return A->y - B->y;
}
int vector_product(Point a, Point b) {
return a.x * b.y - a.y * b.x;
}
Point get_vector(Point a, Point b) {
Point tmp;
tmp.x = b.x - a.x;
tmp.y = b.y - a.y;
return tmp;
}
double distance2(Point a, Point b) {
return (a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y);
}
```
#### 四、总结
本文详细介绍了如何利用C语言实现一个凸包问题的解决方案。通过对代码的逐行分析，我们不仅了解了凸包的基本概念，还掌握了实现凸包的一种有效方法——Graham扫描法。此外，还学习了如何使用向量积来判断点相对于已知凸多边形的位置关系，这对于理解和实现各种计算几何算法都是非常有帮助的。
