进 退 法 优 化 子 程 序

### 进退法优化子程序知识点解析 #### 一、进退法简介 进退法是一种用于求解一维无约束最优化问题的有效方法。它主要用于寻找目标函数在一个已知区间内的最小值（或最大值）。该方法适用于具有单谷（或单峰）特性的函数。然而，在面对多维非线性有约束问题时，进退法面临一些挑战，主要包括： 1. **方向确定**：需要首先确定搜索的方向。 2. **约束条件判断**：必须能够判断当前所处的区间是否满足约束条件。 3. **非单峰情况处理**：对于那些在约束范围内但不具备单峰性质的问题，需要给出相应的解决方案。 #### 二、进退法优化子程序实现分析 根据提供的代码示例，我们可以更深入地理解进退法的具体实现过程及其在解决上述问题时的方法。 ##### 1. 主程序框架 ```c main() { double x0[] = {0}; // 初始点 double s[] = {1}; // 搜索方向 double a[1], b[1]; // 存储结果的区间端点 jtf(x0, 0.1, s, 1, a, b); // 调用进退法子程序 printf("a[]=%f,b[]=%f\n", a[0], b[0]); // 输出结果 getch(); // 暂停程序 } ``` 这里定义了初始点 `x0` 和搜索方向 `s`，并调用了 `jtf()` 函数来执行进退法。最终输出的是找到的最优区间 `[a, b]`。 ##### 2. 目标函数 ```c double objf(double x[]) { double ff; ff = 3 * pow(x[0], 3) - 8 * x[0] + 9; return(ff); } ``` 这是一个简单的一维目标函数，用于计算给定点的函数值。在此例中，我们考虑了一个三次多项式函数作为目标函数。 ##### 3. 进退法子程序实现 ```c void jtf(double x0[], double h0, double s[], int n, double a[], double b[]) { int i; double *x[3], h, f1, f2, f3; // 动态分配内存 for (i = 0; i < 3; i++) x[i] = (double*)malloc(n * sizeof(double)); // 初始化 h = h0; for (i = 0; i < n; i++) *(x[0] + i) = x0[i]; f1 = objf(x[0]); // 判断搜索方向 for (i = 0; i < n; i++) *(x[1] + i) = *(x[0] + i) + h * s[i]; f2 = objf(x[1]); if (f2 >= f1) { h = -h0; // 更新搜索方向 for (i = 0; i < n; i++) { *(x[0] + i) = *(x[1] + i); *(x[1] + i) = *(x[0] + i); } f1 = f2; } // 执行进退操作 while (true) { h = 2 * h; for (i = 0; i < n; i++) *(x[2] + i) = *(x[1] + i) + h * s[i]; f3 = objf(x[2]); if (f2 < f3) break; else { // 更新区间 for (i = 0; i < n; i++) { *(x[0] + i) = *(x[1] + i); *(x[1] + i) = *(x[2] + i); } f1 = f2; f2 = f3; } } // 确定最终区间 if (h < 0) for (i = 0; i < n; i++) { a[i] = *(x[2] + i); b[i] = *(x[0] + i); } else for (i = 0; i < n; i++) { a[i] = *(x[0] + i); b[i] = *(x[2] + i); } // 释放内存 for (i = 0; i < 3; i++) free(x[i]); } ``` 此子程序实现了进退法的核心逻辑，包括确定搜索方向、执行进退操作以及最终确定搜索区间的端点。 #### 三、解决多维非线性有约束问题的方法 针对多维非线性有约束问题，进退法需要进行一定的扩展或修改才能有效应对。具体来说： 1. **方向确定**：可以通过梯度下降等方法确定搜索方向。 2. **约束条件判断**：可以引入罚函数法或者利用拉格朗日乘子法来处理约束条件。 3. **非单峰情况处理**：当函数不具备单峰性质时，可以采用多点启动策略或多算法结合的方式提高搜索效率和精度。 进退法作为一种基本的优化算法，在处理某些特定类型的问题时非常有效。但在面对复杂问题时，则需要与其他技术相结合，以达到更好的优化效果。