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系统辨识最小二乘法大作业
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系统辨识最小二乘法大作业
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系统辨识大作业
最小二乘法及其相关估值方法应用
学号:
姓名:
基于最小二乘法的多种系统辨识方法研究
1. 最小二乘法的引出
在系统辨识中用得最广泛的估计方法是最小二乘法(LS)。
设单输入-单输出线性定长系统的差分方程为
𝑥
(
𝑘
)
+
𝑎
1
𝑥
(
𝑘
―
1
)
+
…
+
𝑎
𝑛
(
𝑘
―
𝑛
)
=
𝑏
0
𝑢
(
𝑘
)
+
…
+
𝑏
𝑛
𝑢
(
𝑘
―
𝑛
)
,
𝑘
=
1
,
2
,
3
,
⋯
(5.1.1)
式中:
𝑢
(
𝑘
)
为随机干扰;
𝑥
(
𝑘
)
为理论上的输出值。
𝑥
(
𝑘
)
只有通过观测才能得到,在观测过程
中往往附加有随机干扰。
𝑥
(
𝑘
)
的观测值
𝑦
(
𝑘
)
可表示为
𝑦
(
𝑘
)
=
𝑥
(
𝑘
)
+
𝑛
(
𝑘
)
(5.1.2)
式中:
𝑛
(
𝑘
)
为随机干扰。由式(5.1.2)得
𝑥
(
𝑘
)
=
𝑦
(
𝑘
)
―
𝑛
(
𝑘
)
(5.1.3)
将式(5.1.3)带入式(5.1.1)得
𝑦
(
𝑘
)
+
𝑎
1
𝑦
(
𝑘
―
1
)
+
…
+
𝑎
𝑛
𝑦
(
𝑘
―
𝑛
)
=
𝑏
0
𝑢
(
𝑘
)
+
𝑏
1
𝑢
(
𝑘
―
1
)
+
…
+
𝑏
𝑛
𝑢
(
𝑘
―
𝑛
)
+
𝑛
(
𝑘
)
+
𝑛
𝑖
=
1
𝑎
𝑖
(𝑘
―
𝑖)
(5.1.4)
我们可能不知道
𝑛
(
𝑘
)
的统计特性,在这种情况下,往往把
𝑛
(
𝑘
)
看做均值为 0 的白噪声。
设
𝜉(
𝑘
)
=
𝑛(
𝑘
)
+
𝑛
𝑖
=
1
𝑎
𝑖
(𝑘
―
𝑖)
(5.1.5)
则式(5.1.4)可写成
𝑦
(
𝑘
)
=
―
𝑎
1
𝑦
(
𝑘
―
1
)
―
𝑎
2
𝑦
(
𝑘
―
2
)
―
…
―
𝑎
𝑛
𝑦
(
𝑘
―
𝑛
)
+
𝑏
0
𝑢
(
𝑘
)
+
𝑏
1
𝑢
(
𝑘
―
1
)
+
…
+
𝑏
𝑛
𝑢
(
𝑘
―
𝑛
)
+
𝜉(
𝑘
)
(5.1.6)
在观测
𝑢
(
𝑘
)
时也有测量误差,系统内部也可能有噪声,应当考虑它们的影响。因此假定
𝜉(
𝑘
)
不仅包含了
𝑥
(
𝑘
)
的测量误差,而且包含了
𝑢
(
𝑘
)
的测量误差和系统内部噪声。假定
𝜉(
𝑘
)
是
不相关随机序列(实际上
𝜉(
𝑘
)
是相关随机序列)。
现 分 别 测 出
𝑛
+
𝑁
个 随 机 输 入 值
𝑦
(
1
)
,
𝑦
(
2
)
,
⋯
,
𝑦
(
𝑛
+
𝑁
)
,
𝑢
(
1
)
,
𝑢
(
2
)
,
⋯
,
𝑢(𝑛
+
𝑁)
,则可写成
𝑁
个方程,即
𝑦
(
𝑛
+
1
)
=
―
𝑎
1
𝑦
(
𝑛
)
―
𝑎
2
𝑦
(
𝑛
―
1
)
―
…
―
𝑎
𝑛
𝑦
(
1
)
+
𝑏
0
𝑢
(
𝑛
+
1
)
+
𝑏
1
𝑢
(
𝑛
)
+
…
+
𝑏
𝑛
𝑢
(
1
)
+
𝜉(𝑛
+
1)
𝑦
(
𝑛
+
2
)
=
―
𝑎
1
𝑦
(
𝑛
+
1
)
―
𝑎
2
𝑦
(
𝑛
)
―
…
―
𝑎
𝑛
𝑦
(
2
)
+
𝑏
0
𝑢
(
𝑛
+
2
)
+
𝑏
1
𝑢
(
𝑛
+
1
)
+
…
+
𝑏
𝑛
𝑢
(
2
)
+
𝜉(𝑛
+
2)
⋮
𝑦
(
𝑛
+
𝑁
)
=
―
𝑎
1
𝑦
(
𝑛
+
𝑁
―
1
)
―
𝑎
2
𝑦
(
𝑛
+
𝑁
―
2
)
―
…
―
𝑎
𝑛
𝑦
(
𝑁
)
+
𝑏
0
𝑢
(
𝑛
+
𝑁
)
+
𝑏
1
𝑢
(
𝑛
+
𝑁
―
1
)
+
…
+
𝑏
𝑛
𝑢
(
𝑁
)
+
𝜉(𝑛
+
𝑁)
上述
𝑁
个方程可写成向量-矩阵形式
𝑦(𝑛
+
1)
𝑦(𝑛
+
2)
⋮
𝑦(𝑛
+
𝑁)
=
―
𝑦(𝑛)
―
𝑦(𝑛
+
1)
⋯
⋯
―
𝑦(1)
𝑢(𝑛
+
1)
⋯
𝑢(1)
―
𝑦(2)
𝑢(𝑛
+
2)
⋯
𝑢(2)
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
―
𝑦(𝑛
+
𝑁
―
1)
⋯
―
𝑦(𝑁)
𝑢(𝑛
+
𝑁)
⋯
𝑢(𝑁)
×
𝑎
1
⋮
𝑎
𝑛
𝑏
0
⋮
𝑏
𝑛
+
𝜉(𝑛
+
1)
𝜉(𝑛
+
2)
⋮
𝜉(𝑛
+
3)
(5.1.7)
设
𝒚
=
𝑦(𝑛
+
1)
𝑦(𝑛
+
2)
⋮
𝑦(𝑛
+
𝑁)
,
𝛉
=
𝑎
1
⋮
𝑎
𝑛
𝑏
0
⋮
𝑏
𝑛
,
𝝃
=
𝜉(𝑛
+
1)
𝜉(𝑛
+
2)
⋮
𝜉(𝑛
+
𝑁)
𝚽
=
―
𝑦(𝑛)
―
𝑦(𝑛
+
1)
⋯
⋯
―
𝑦(1)
𝑢(𝑛
+
1)
⋯
𝑢(1)
―
𝑦(2)
𝑢(𝑛
+
2)
⋯
𝑢(2)
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
―
𝑦(𝑛
+
𝑁
―
1)
⋯
―
𝑦(𝑁)
𝑢(𝑛
+
𝑁)
⋯
𝑢(𝑁)
则式(5.1.7)可写为
𝐲
=
𝚽𝛉
+
𝛏
(5.1.8)
式中:
𝐲
为
𝑁
维输出向量;
𝛏
为
𝑁
维噪声向量;
𝛉
为
(2𝑛
+
1)
维参数向量;
𝚽
为
𝑁
×
(2𝑛
+
1)
测
量矩阵。因此式(5.1.8)是一个含有
(2𝑛
+
1)
个未知参数,由
𝑁
个方程组成的联立方程组。如
果
𝑁
<
2𝑛
+
1
,方程数少于未知数数目,则方程组的解是不定的,不能唯一地确定参数向量。
如果
𝑁
=
2𝑛
+
1
,方程组正好与未知数数目相等,当噪声
𝛏
=
𝟎
时,就能准确地解出
𝜽
=
𝜱
―
𝟏
𝒚
(5.1.9)
如果噪声
𝛏
≠
𝟎
,则
𝜽
=
𝜱
―
𝟏
𝒚
―
𝜱
―
𝟏
𝛏
(5.1.10)
从上式可以看出噪声
𝛏
对参数估计是有影响的,为了尽量较小噪声
𝛏
对
𝜽
估值的影响。在给定
输出向量
𝒚
和测量矩阵
𝜱
的条件下求系统参数
𝜽
的估值,这就是系统辨识问题。可用最小二乘
法来求
𝜽
的估值,以下讨论最小二乘法估计。
2. 最小二乘法估计算法
设
𝛉
表示
𝛉
的最优估值,
𝒚
表示
𝒚
的最优估值,则有
𝒚
=
𝚽
𝛉
(5.1.11)
𝒚
=
𝑦
(𝑛
+
1)
𝑦
(𝑛
+
2)
⋮
𝑦
(𝑛
+
𝑁)
,
𝛉
=
𝑎
1
⋮
𝑎
𝑛
𝑏
0
⋮
𝑏
𝑛
写出式(5.1.11)的某一行,则有
𝑦
(
𝑘
)
=
―
𝑎
1
𝑦
(
𝑘
―
1
)
―
𝑎
2
𝑦
(
𝑘
―
2
)
―
…
―
𝑎
𝑛
𝑦
(
𝑘
―
𝑛
)
+
𝑏
0
𝑢
(
𝑘
)
+
𝑏
1
𝑢
(
𝑘
―
1
)
+
…
+
𝑏
𝑛
𝑢
(
𝑘
―
𝑛
)
+
𝜉
(
𝑘
)
=
―
𝑛
𝑖
=
1
𝑎
𝑖
𝑦(𝑘
―
𝑖)
+
𝑛
𝑖
=
0
𝑏
𝑖
𝑢(𝑘
―
𝑖)
,
𝑘
=
𝑛
+
1
,
𝑛
+
2
,
⋯
,
𝑛
+
𝑁
(5.1.12)
设
𝑒(𝑘)
表示
𝑦(𝑘)
与
𝑦
(𝑘)
之差,即
𝑒
(
𝑘
)
=
𝑦
(
𝑘
)
-
𝑦
(
𝑘
)
=
𝑦
(
𝑘
)
―
𝑦
(
𝑘
)
=
𝑦
(
𝑘
)
—
𝑛
𝑖
=
1
𝑎
𝑖
𝑦
(
𝑘
―
𝑖
)
+
𝑛
𝑖
=
0
𝑏
𝑖
𝑢
(
𝑘
―
𝑖
)
=
(
1
+
𝑎
1
𝑧
―
1
+
⋯
+
𝑎
𝑛
𝑧
―
𝑛
)
𝑦
(
𝑘
)
―
𝑏
0
+
𝑏
1
𝑧
―
1
+
⋯
+
𝑏
𝑛
𝑧
―
𝑛
𝑢
(
𝑘
)
=
𝑎
(
𝑧
―
1
)
𝑦
(
𝑘
)
―
𝑏
(
𝑧
―
1
)
𝑢
(
𝑘
)
,
𝑘
=
𝑛
+
1
,
𝑛
+
2
,
⋯
,
𝑛
+
𝑁
(5.1.13)
式中
𝑎
(
𝑧
―
1
)
=
1
+
𝑎
1
𝑧
―
1
+
⋯
+
𝑎
𝑛
𝑧
―
𝑛
𝑏
(
𝑧
―
1
)
=
𝑏
0
+
𝑏
1
𝑧
―
1
+
⋯
+
𝑏
𝑛
𝑧
―
𝑛
𝑒
(
𝑘
)
成为残差。把
𝑘
=
𝑛
+
1
,
𝑛
+
2
,
⋯
,
𝑛
+
𝑁
分别代入式(5.1.13)可得残差
𝑒
(
𝑛
+
1
)
,
𝑒
(
𝑛
+
2
)
,
⋯
,
𝑒
(
𝑛
+
𝑁
)
。设
𝒆
=
[
𝑒
(
𝑛
+
1
)
𝑒
(
𝑛
+
2
)
⋯
𝑒
(
𝑛
+
𝑁
)
]
T
则有
𝒆
(
𝒌
)
=
𝒚
―
𝒚
=
𝒚
―
𝚽
𝛉
(5.1.14)
最小二乘估计要求残差的平方和为最小,即按照指数函数
𝐽
=
𝒆
𝑻
𝒆
=
(
𝒚
―
𝜱
𝜽
)
𝑇
(
𝒚
―
𝜱
𝜽
)
(5.1.15)
为最小来确定估值
𝛉
。求
𝐽
对
𝜽
的偏导数并令其等于 0 可得
∂J
∂
𝜽
=
―
2
𝚽
𝐓
𝒚
―
𝜱
𝜽
=
𝟎
(5.1.16)
𝚽
𝐓
𝜱
𝜽
=
𝚽
𝐓
𝒚
(5.1.17)
由式(5.1.17)可得
𝜽
的最小二乘估计
𝜽
=
(𝚽
𝐓
𝜱
)
―
𝟏
𝚽
𝐓
𝒚
(5.1.18)
3.递推最小二乘法
为了实现实时控制,必须采用递推算法,这种辨识方法主要用于在线辨识。
设已获得的观测数据长度为
𝑁
,将式(5.1.8)中的
𝒚
和
𝛏
分别用
Y
N
,
𝜱
𝑵
,
𝛏
𝐍
来代替,
即
Y
N
=
𝜱
𝑵
𝜽
+
𝛏
𝐍
(5.3.1)
用
𝜽
𝑵
表示
𝜽
的最小二乘估计,则
𝜽
𝑵
=
(
𝜱
𝑵
𝐓
𝜱
𝑵
)
―
𝟏
𝜱
𝑵
𝐓
𝐘
𝐍
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