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高等数学练习题(附答案)
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高等数学练习题(附答案)
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1
《高等数学》
专业 年级 学号 姓名
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.(每题 2 分,共 20 分)
( )1. 收敛的数列必有界.
( )2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量.
( )3. 闭区间上的间断函数必无界.
( )4. 单调函数的导函数也是单调函数.
( )5. 若
)(xf
在
0
x
点可导,则
)(xf
也在
0
x
点可导.
( )6. 若连续函数
)(xfy �
在
0
x
点不可导,则曲线
)(xfy �
在
))(,(
00
xfx
点没有切
线.
( )7. 若
)(xf
在[
ba,
]上可积,则
)(xf
在[
ba,
]上连续.
( )8. 若
),( yxfz �
在(
00
, yx
)处的两个一阶偏导数存在,则函数
),( yxfz �
在
(
00
, yx
)处可微.
( )9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.
( )10. 设偶函数
)(xf
在区间
)1,1(�
内具有二阶导数,且
1)0()0( �
�
�
��
ff
, 则
)0(f
为
)(xf
的一个极小值.
二、填空题.(每题 2 分,共 20 分)
1. 设
2
)1( xxf ��
,则
�� )1(xf
.
2. 若
12
12
)(
1
1
�
�
�
x
x
xf
,则
�
�
� 0
lim
x
.
3. 设单调可微函数
)(xf
的反函数为
)(xg
,
6)3(,2)1(,3)1( �
��
�
�
� fff
则
�
�
)3(g
.
4. 设
y
x
xyu ��
, 则
�du
.
5. 曲线
32
6 yyx ��
在
)2,2(�
点切线的斜率为 .
2
6. 设
)(xf
为可导函数,
)()
1
()(,1)1(
2
xf
x
fxFf ���
�
,则
�
�
)1(F
.
7. 若
),1(
2
)(
0
2
xxdtt
xf
��
�
则
�)2(f
.
8.
xxxf 2)( ��
在[0,4]上的最大值为 .
9. 广义积分
�
�
��
�
dxe
x2
0
.
10. 设 D 为圆形区域
����
��
dxdyxyyx
D
522
1,1
.
三、计算题(每题 5 分,共 40 分)
1. 计算
)
)2(
1
)1(
11
(lim
222
nnn
n
��
�
�
��
�
.
2. 求
1032
)10()3()2)(1( ����� xxxxy ��
在(0,+
�
)内的导数.
3. 求不定积分
dx
xx
�
� )1(
1
.
4. 计算定积分
dxxx
�
�
�
0
53
sinsin
.
5. 求函数
223
24),( yxyxxyxf ����
的极值.
6. 设平面区域 D 是由
xyxy �� ,
围成,计算
dxdy
y
y
D
��
sin
.
7. 计算由曲线
xyxyxyxy 3,,2,1 ����
围成的平面图形在第一象限的面积.
8. 求微分方程
y
x
yy
2
��
�
的通解.
四、证明题(每题 10 分,共 20 分)
1. 证明:
2
tan arcsin
1
x
arc x
x
=
+
)( ������ x
.
2. 设
)(xf
在闭区间[
],ba
上连续,且
,0)( �xf
3
dt
tf
dttfxF
x x
b
� �
��
0
)(
1
)()(
证明:方程
0)( �xF
在区间
),( ba
内有且仅有一个实根.
《高等数学》参考答案
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内(每题 2 分,共 20 分)
1.√ ;2.× ;3.×; 4.× ;5.×; 6.× ;7.× ;8.× ;9.√ ;10.√.
二、 填空题.(每题 2 分,共 20 分)
1.
44
2
�� xx
; 2. 1; 3. 1/2; 4.
dyyxxdxyy )/()/1(
2
���
;
5. 2/3 ; 6. 1 ; 7.
3
36
; 8. 8 ; 9. 1/2 ; 10. 0.
三、计算题(每题 5 分,共 40 分)
1.解:因为
2
1
(2 )
n
n
�
2 2 2
1 1 1
( 1) (2 )n n n
� � � � �
�
L
2
1n
n
�
且
2
1
lim 0
(2 )
n
n
n
� �
�
�
,
2
1
lim
n
n
n
� �
�
=0
由迫敛性定理知:
)
)2(
1
)1(
11
(lim
222
nnn
n
��
�
�
��
�
=0
2.解:先求对数
)10ln(10)2ln(2)1ln(ln ������ xxxy �
10
10
2
2
1
11
�
��
�
�
�
�
�
�
xxx
y
y
�
)(10()1( ���
�
� xxy �
)
10
10
2
2
1
1
�
��
�
�
� xxx
�
3.解:原式=
�
�
xd
x1
1
2
=
�
�
xd
x
2
)(1
1
2
=2
cx �arcsin
4
4.解:原式=
dxxx
�
�
0
23
cossin
=
�
�
2
0
2
3
sincos
�
xdxx
�
�
�
2
2
3
sincos xdxx
=
�
�
2
0
2
3
sinsin
�
xxd
�
�
�
2
2
3
sinsin xxd
=
2
0
2
5
][sin
5
2
�
x
�
�
2
2
5
][sin
5
2
x�
=4/5
5.解:
0283
2
����
�
yxxf
x
022 ���
�
yxf
y
故
�
�
�
�
�
0
0
y
x
或
�
�
�
�
�
2
2
y
x
当
�
�
�
�
�
0
0
y
x
时
8)0,0( ��
��
xx
f
,
2)0,0( ��
��
yy
f
,
2)0,0( �
��
xy
f
02)2()8(
2
��������
且 A=
08 ��
�
(0,0)为极大值点 且
0)0,0( �f
当
�
�
�
�
�
2
2
y
x
时
4)2,2( �
��
xx
f
,
2)2,2( ��
��
yy
f
,
2)2,2( �
��
xy
f
02)2(4
2
�������
�
无法判断
6.解:D=
� �
yxyyyx ����
2
,10),(
� ���
��
1
0
2
sinsin
y
y
D
dx
y
y
dydxdy
y
y
=
dyx
y
y
y
y
2
][
sin
1
0
�
=
dyyyy )sin(sin
1
0
�
�
5
=
�
��
1
0
1
0
cos]cos[ yydy
=
�
���
1
0
1
0
cos]cos[1cos1 ydyyy
=
1sin1�
7.解:令
xyu �
,
x
y
v �
;则
21 �� u
,
31 �� v
v
v
u
u
v
vv
u
uv
yy
xx
J
vu
vu
2
1
2
22
1
�
�
��
�
3ln
2
1
2
1
3
1
���
�� � �
D
dv
v
dudA
�
8.解:令
uy �
2
,知
xuu 42)( ��
�
由微分公式知:
)4(
22
2
cdxxeeyu
dxdx
�
�
�
�
��
�
�
)4(
22
cdxxee
xx
���
�
�
)2(
222
cexee
xxx
���
��
四.证明题(每题 10 分,共 20 分)
1.解:设
2
1
arcsinarctan)(
x
x
xxf
�
��
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
)(
x
x
x
x
x
x
x
xf
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
=0
cxf �� )(
������ x
令
0�x
0000)0( ����� cf�
即:原式成立。
2.解:
],[)( baxF 在�
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