正态分布，也称为高斯分布，是一种在统计学和概率论中极其重要的连续概率分布。在自然界和社会科学中，许多现象的数据往往呈现出正态分布的特性，例如人的身高、智商分数、考试成绩等。正态分布具有两个关键参数：均值μ（平均值）和标准差σ（数据波动的程度）。
正态分布的特点：
1. 对称性：正态分布曲线是对称的，以均值μ为中心，左右两侧的形状完全相同。
2. 均值决定了分布的中心位置：曲线最高峰的位置对应的就是均值μ。
3. 标准差σ决定了分布的宽度：σ越大，分布越宽，数据的分散程度越大；σ越小，分布越窄，数据集中在均值附近。
4. 曲线下方的总面积为1，代表100%的概率，表示所有可能发生的值都包括在内。
5. 数据点落在均值μ一个标准差内的概率约为68%，两个标准差内的概率约为95%，三个标准差内的概率约为99.7%。这是著名的68-95-99.7规则。
正态分布的数学表达式为：
f(x|μ, σ²) = (1/σ√(2π)) * e^(-((x - μ)^2 / (2σ²)))
这个公式描述了在给定均值μ和标准差σ的情况下，随机变量X取值为x的概率密度。
在实际应用中，正态分布广泛用于数据分析和推断统计中，如：
- 计算置信区间和假设检验，如t检验和z检验。
- 在过程控制中，如六西格玛质量管理，常假设过程输出符合正态分布。
- 随机变量的线性组合仍然遵循正态分布，这在多元统计分析中非常有用。
正态分布的图形通常用直方图来展示，当样本容量足够大时，样本的频率分布折线图会逼近正态分布曲线。高尔顿板是一种物理演示设备，通过模拟落体过程，可以直观地展示出正态分布的形成。
通过正态分布的学习，我们可以更好地理解和解释现实世界中的随机现象，以及进行有效的统计推断。在工程、金融、医学研究等领域，正态分布是进行数据分析的基础工具之一。
