弹性力学简明教程第四章平面问题的极坐标解答习题详解.docx

《弹性力学简明教程》第四章主要探讨了平面问题在极坐标系下的解答方法，尤其关注了极坐标下弹性体的平衡微分方程、几何方程和物理方程。在这一章中，通过典型例题讲解了如何解决具体问题。 在例题4-1中，我们考虑了一个矩形薄板在四边受到纯剪切力作用的情景。假设切应力为q，板内有一个小圆孔。问题的关键在于找到孔边的最大和最小正应力。根据材料力学的原理，可以利用纯剪切的矩形薄板等效于一对边受拉、另一对边受压的模型来简化问题。通过建立极坐标系，并利用应力分量公式，可以得出最大正应力发生在φ=±π/2时，其值为4q，而最小正应力发生在φ=0，π时，其值为-4q。 在讨论极坐标与直角坐标下的平衡微分方程、几何方程和物理方程时，可以看到两者之间的相似性和差异性。在平衡微分方程中，极坐标特有的项反映了面积元素的差异以及正应力和切应力在不同方向的投影。几何方程中，极坐标独有的项体现了径向位移导致的应变和环向位移引起的转角。而物理方程在两种坐标系中保持相似。 此外，章节还引导读者推导位移分量在不同坐标系间的变换关系，以及在轴对称问题中如何通过位移求解基本方程。在轴对称位移问题中，假设uρ=Aρ+Bρ，uφ=0，可以证明这个假设满足基本方程。同时，章节还介绍了按应力求解时的相容方程，即平面应力和应变条件下的相容关系。 总结来说，本章深入浅出地阐述了弹性力学中平面问题在极坐标系统下的理论和应用，通过实例和方程解析，帮助读者理解和掌握在复杂几何形状和边界条件下解决问题的方法。这对于理解和解决实际工程中的弹性力学问题具有重要意义。