2023dlut最优化方法第四章

"2023dlut最优化方法第四章" 本章主要讲述了约束最优化方法，具体来讲是非线性规划模型。非线性规划模型可以表示为： min xxx∈Rn f(xxx) s.t. hi(xxx) = 0 (i = 1, 2, ..., l) hi(xxx) ≤ 0 (i = l + 1, l + 2, ..., m) 其中 f, hi, i = 1, 2, ..., m 均为 Rn 或其子集上的连续可微的实值函数。 在这个模型中，f(xxx) 为目标函数，hi(xxx) = 0 (i = 1, 2, ..., l) 为等式约束，hi(xxx) ≤ 0 (i = l + 1, l + 2, ..., m) 为不等式约束。满足所有约束条件的点构成的集合为问题的可行域，记为 Ω。 在 Ω 中的点 xxx 称为可行点。因此，问题也可以表示为： min xxx∈Ω f(xxx) 如果目标函数或约束函数中至少有一个是非线性的，则称问题为非线性规划问题。 本章还讲授了两个重要的概念：可行方向和可行下降方向。可行方向是指存在一个数 t∗ > 0，使得对任意的 t ∈ (0, t∗)，都有 xxx∗ + tddd ∈ Ω。可行下降方向是指存在一个数 t∗ > 0，使得对任意的 t ∈ (0, t∗)，都有 f (xxx∗ + tddd) < f(xxx) 且 xxx∗ + tddd ∈ Ω。 此外，本章还讲授了 KKT 条件，即在最优点 x∗ 处满足： ∇f(x∗) + 12∇h(x∗) = 0 以及非线性规划的一阶最优性条件，即存在 µµµ∗ = (µ∗1, · · · , µ∗l )T ∈ Rl，使得： ∇xxxL (xxx∗,µµµ∗) = ∇f (xxx∗) +l�i=1µ∗i ∇hi (xxx∗) = 0 其中 L(xxx,µµµ) := f(xxx) +l�i=1µihi(xxx)。 本章还讲授了非线性规划的一阶最优性条件的应用，包括等式约束优化问题的一阶最优性条件和一般的非线性规划问题的一阶最优性条件。