DST详解.pdf

### DST(Double Size Tree)详解 #### 一、DST简介 DST(Double Size Tree)，也被昵称为SST，是一种新型的平衡二叉搜索树。它由小魚兒同学首次提出，并在OIBH平台上得到了广泛关注。DST的核心优势在于其独特的平衡机制，能够在插入和删除操作后快速恢复树的平衡状态，从而保证了高效的查询性能。 #### 二、DST的术语定义 在深入了解DST的工作原理之前，我们需要了解一些基本术语： - **结点A**：指二叉搜索树中的任意一个结点。 - **T(A)**：表示以结点A为根的子树。 - **S(A)**：表示子树T(A)中的结点总数。 - **H(A)**：表示子树T(A)的高度，即从根节点到叶子节点最长路径上的边数。 - **Key[A]**：表示结点A的关键字。 - **Left[A]**：表示结点A的左孩子。 - **Right[A]**：表示结点A的右孩子。 #### 三、DST的操作 ##### 3.1 插入操作 插入操作的基本思路是：对于待插入的新结点，如果其关键字小于当前结点的关键字，则递归地插入左子树；反之，则插入右子树。插入完成后，需要调用`Maintain`过程来维护DST的平衡性。 **伪代码：** ```plaintext Insert(k, p) S[p] ← S[p] + 1 If p = NullNode then p ← NewNode(k) Exit If Key[p] > k then Insert(k, Left[p]) else Insert(k, Right[p]) Maintain(p, Key[p] > k) ``` ##### 3.2 删除操作 DST中的删除操作与普通的二叉搜索树类似，但为了保持平衡，删除后也需要调用`Maintain`过程。删除的具体步骤如下： 1. 查找待删除的结点。 2. 使用左子树中的最大关键字或右子树中的最小关键字替换该结点的关键字。 3. 删除替换过来的关键字所在的结点。 **伪代码：** ```plaintext Delete(k, p) S[p] ← S[p] - 1 If Key[p] > k then Delete(k, Right[p]) else If Key[p] = k then If S[p] = 0 then p = 0 else If S[Left[p]] >= S[Right[p]] then Key[p] ← maximum(Left[p]) Delete(Key[p], Left[p]) else Key[p] ← minimum(Right[p]) Delete(Key[p], Right[p]) else Delete(k, Right[p]) Maintain(p, true) Maintain(p, false) ``` #### 四、DST的平衡 ##### 4.1 旋转 DST通过旋转来维持平衡。旋转包括简单的左右旋转和复杂的组合旋转。简单的旋转包括左旋和右旋，而复杂的组合旋转则涉及到两个连续的旋转操作。 - **左旋**：针对当前结点执行左旋，即将当前结点的右子树变为新的根结点。 - **右旋**：针对当前结点执行右旋，即将当前结点的左子树变为新的根结点。 - **组合旋转**：先对左子树执行左旋，再对根结点执行右旋；或者先对右子树执行右旋，再对根结点执行左旋。 **图示说明：** - 图1展示了左旋和右旋的效果。 - 图2展示了简单的旋转。 - 图3展示了复杂的组合旋转。 ##### 4.2 平衡条件 DST的平衡条件是确保每个结点的左右子树的大小相差不超过一定范围。具体来说，对于任意结点A，其左右子树的结点数量满足以下条件： \[ \left| S\left(\text{Left}[A]\right) - S\left(\text{Right}[A]\right) \right| \leq 1 \] 只有当T(A)满足上述条件且其左右子树也都是DST时，才称T(A)是一棵DST。 #### 结语 DST作为一种新颖的平衡二叉搜索树，不仅提供了高效的插入、删除和查询操作，而且其独特的平衡策略确保了树的高度始终保持在一个合理的范围内，从而保证了良好的性能表现。通过对DST的深入研究，我们可以更好地理解和应用这种数据结构，以解决实际问题中的搜索和排序需求。