All the Mathematics You Missed But Need to Know for Graduate Sch...

《All the Mathematics You Missed But Need to Know for Graduate School》是一本专门为研究生入学考试前数学知识准备不足的大学生和研究生编写的数学参考书。本书作者Thomas A. Garrity，是威廉姆斯学院的数学教授，旨在帮助学生了解数学的广阔轮廓，并填补他们知识中的空白。书中讲解了大学数学中最重要主题的基本点和一些关键结果，特别强调了每个主题背后的直观理解。涵盖了包括线性代数、向量拓扑、微积分、微分几何、微分方程、概率论、复分析、抽象代数等多个重要数学分支。该书对于数学、物理科学、工程、计算机科学、统计学、经济学等领域的高年级本科生和初入研究生来说是必不可少的资源。 线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（或称线性空间）、线性变换以及线性方程组。它是数学中的基础学科，同时也是现代科学技术中应用极为广泛的一个数学分支。线性代数中的概念包括矩阵、行列式、特征值和特征向量等，它们在数据分析、量子力学、计算机图形学等多个领域都有重要应用。 向量拓扑是向量空间理论的一个分支，它主要研究向量空间中的极限、连续性和连通性等问题。在拓扑空间的概念下，向量空间的性质被抽象地研究，而不必考虑具体的坐标和度量。这种方法使我们能够将问题推广到更为一般的空间中去，例如，在无穷维空间中的函数空间。 微积分是数学分析的核心，主要研究函数、极限、微分、积分以及它们的应用。微积分分为两个主要分支，即微分学和积分学。微分学主要研究如何描述函数的变化率，而积分学则研究函数的累积效应。这两个分支是现代科学与工程学中不可或缺的工具，用于建模和解决各种物理、生物和技术问题。 微分几何研究的是曲线、曲面以及更高维度的流形的微分性质。它将几何的概念与分析的严格性结合起来，是现代物理学中广义相对论的基础。在微分几何中，常用到的概念包括流形、张量、联络、曲率等。 微分方程是研究含有未知函数及其导数的方程的数学分支。这类方程可以描述自然界中的许多变化过程，如物理、生物、经济等领域中的动态系统。微分方程按不同的要求和特点分为常微分方程和偏微分方程两大类。 概率论主要研究随机事件的规律性，它是现代统计学和许多科学领域分析不确定性的基础。概率论中的概念包括随机变量、概率分布、期望值、方差等。这些概念不仅在理论研究中有重要作用，也是工程技术、金融保险、数据科学等领域的核心工具。 复分析，又称复变函数理论，是研究复数域上解析函数的数学分支。复分析中的函数相比实分析中的函数有很多优美的性质，例如复函数的可微性保证了其光滑性和无穷可微性。复分析在数学的许多分支中都有重要的应用，包括复几何、数论和动力系统等。 抽象代数是研究代数结构的数学分支，比如群、环、域等概念。这些概念在简化问题、探索数学内在结构和建立数学理论框架方面发挥着核心作用。抽象代数的方法已经渗透到数学的许多其他领域，比如代数拓扑、代数几何和数论等。 书中不仅介绍了上述数学主题的基本知识，还通过详尽的注释书目，提供了进一步阅读的指南和更加严格的基础学习资源。对于那些需要迅速掌握严肃数学知识的学生和专业人士来说，这是一本宝贵的参考书。此外，书籍的附录还可能包括一些实用的数学公式、定理和数学符号的快速索引，以便读者查阅和应用。