信号与系统复习纲要

### 信号与系统复习纲要 #### 第一章 信号与系统的基本概念 **1.1 本章要点** **1.1.1 信号的描述及分类** **1. 信号及其描述** 信号是一种携带信息的物理量，可以通过随时间变化的函数\( f(t) \)来数学化地描述。例如，声音可以通过空气分子振动的方式传播，并被描述为时间的函数。 **2. 信号的分类** - **确定信号和随机信号**：确定信号是可以精确表示的时间函数，如正弦波；而随机信号则无法预测，只能通过统计概率的方法描述其特性。 - **连续信号和离散信号**：连续信号在整个定义区间内都是连续的，例如大多数模拟信号；离散信号只在特定的点上有定义，如数字信号。 - **周期信号和非周期信号**：周期信号会在一个固定的时间间隔后重复出现，而非周期信号则不会重复。 - **能量信号与功率信号及非能量非功率信号**：能量信号的能量有限（\( 0 < E < \infty \)），而功率信号的平均功率有限（\( 0 < P < \infty \)）。如果信号既不是能量信号也不是功率信号，则称之为非能量非功率信号。 **1.1.2 信号的运算** - **信号的相加和相乘**：两个信号相加得到的新信号在任意时刻的值等于这两个信号在同一时刻的值之和；相乘则是两信号在同一时刻的值之积。 - **信号的导数与积分**：导数表示信号随时间的变化率；积分则表示从负无穷到某时刻信号与时间轴所围成的面积。 - **信号的时移和折叠**：时移是指将信号沿时间轴移动一段距离；折叠则是将信号关于纵轴进行翻转。 - **信号的尺度变换**：尺度变换是对信号进行压缩或扩展，具体取决于缩放因子\( a \)的大小。 **1.1.3 系统的数学模型及其分类** - **系统的定义**：系统是由相互作用和依赖的多个元素组成的整体，用于处理输入并产生输出。 - **系统的分类** - **连续时间系统和离散时间系统**：前者使用微分方程描述，后者则用差分方程。 - **线性系统和非线性系统**：线性系统满足叠加原理，即输出可以视为各个输入单独作用时的输出的线性组合。非线性系统则不满足叠加原理。 **1.2 典型连续信号** - **单位阶跃信号**：定义为\( \epsilon(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ 1 & t \geq 0 \end{cases} \)。 - **单位冲激信号**：定义为\( \delta(t) \)，其性质为\(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1\)，对于任何\( t_0 \neq 0 \)有\(\delta(t - t_0) = 0\)。 - **复指数信号**：形式为\( e^{st} \)，其中\( s = \sigma + j\omega \)是复频率。当\( s = 0 \)时，为直流信号；当\( \omega = 0 \)时，为单调增长或衰减的实指数信号；当\( s \)为纯虚数时，为正弦或余弦信号。 **1.3 信号的运算实例** - **导数与积分**：对于信号\( f(t) \)，其导数\( f'(t) \)可能包含冲激函数，这取决于原函数在不连续点处的变化情况；积分\( F(t) \)表示从负无穷到当前时刻信号的累积效果。 - **时移和折叠**：时移改变信号出现的时间位置；折叠操作改变信号的方向。 - **尺度变换**：当\( a > 1 \)时，信号沿时间轴压缩；当\( 0 < a < 1 \)时，信号沿时间轴扩展。 信号与系统的基础理论包含了信号的基本概念、分类、运算以及系统模型等方面的知识。理解这些基本概念对于后续深入学习信号与系统领域内的更高级内容至关重要。通过对这些知识点的学习，可以为解决实际工程问题提供坚实的理论基础。