### 线性系统-第一章：稳定性的基本概念和定理
#### 一、稳定性概述
在本章节中，我们将探讨线性系统稳定性这一核心概念。稳定性是衡量系统能否在受到干扰后恢复正常运行状态的关键指标。它对于确保系统能够可靠且高效地运行至关重要。
#### 二、稳定性的分类
稳定性可以分为两大类：内部稳定性和外部稳定性。
- **内部稳定性**：关注系统内部状态的变化对其稳定性的影响。
- **外部稳定性**：主要指系统对外部输入响应的稳定性，其中BIBO稳定性是最常用的度量标准之一，适用于线性系统。
#### 三、稳定性的基本概念
##### 平衡状态的稳定性
平衡状态是指系统在一个特定的状态下，如果该状态受到微小的扰动后，系统能够回到这个状态，则称该状态是稳定的。在数学上，可以通过分析微分方程的解来判断平衡状态的稳定性。
对于非线性自治系统：
\[ \dot{x} = f(x,t), x(t_0) = x_0 \]
以及线性自治系统：
\[ \dot{x} = Ax \]
可以定义受扰运动为：
\[ x(t) - x_0 = \phi(t,t_0,x_0) \]
其中，$\phi(t,t_0,x_0)$ 表示从初始状态 $x_0$ 在时刻 $t_0$ 开始，经过时间 $t-t_0$ 后的状态。
#### 四、李雅普诺夫意义下的稳定性
1. **定义**：如果对于任意的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta(\varepsilon,t_0) > 0$，使得当 $\| x(t_0) - x_c \| < \delta$ 时，有 $\| x(t;t_0,x_0) - x_c \| < \varepsilon$ 对于所有的 $t \geq t_0$ 成立，则称平衡状态 $x_c$ 是李雅普诺夫意义下稳定的。
其中，$\delta$ 随着 $\varepsilon$ 和 $t_0$ 的变化而变化，表示当初始偏差足够小时，随着时间的增长，系统的状态变化不会超过任意给定的小量 $\varepsilon$。
2. **几何意义**：如图所示，对于任意的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta(t_0,\varepsilon)$，使得初始状态位于半径为 $\delta$ 的球内时，系统状态将始终保持在这个半径为 $\varepsilon$ 的球内。
3. **一致稳定性**：对于定常系统，李雅普诺夫意义下的稳定性和一致稳定性是等价的，而对于时变系统，二者并不总是等价的。
4. **渐近稳定性**：如果除了满足李雅普诺夫意义下的稳定性之外，还满足 $\lim_{t \to \infty} \| x(t;t_0,x_0) - x_c \| = 0$，则称平衡状态 $x_c$ 是渐近稳定的。
渐近稳定性意味着，随着时间的增长，系统不仅保持在某个区域内，而且会逐渐趋向于平衡状态。
#### 五、线性时变系统的稳定性判据
线性时变系统的稳定性分析通常基于李雅普诺夫第二方法。具体而言，可以通过构造一个正定函数 $V(x)$，该函数满足以下条件：
1. 当 $x = x_c$ 时，$V(x) = 0$；
2. 当 $x \neq x_c$ 时，$V(x) > 0$；
3. $\dot{V}(x) < 0$。
如果存在这样的函数 $V(x)$，那么可以证明平衡状态 $x_c$ 是渐近稳定的。
#### 六、线性定常系统的稳定性判据
对于线性定常系统，稳定性判据通常基于特征值分析。如果系统矩阵 $A$ 的所有特征值的实部均为负，则系统是渐近稳定的。
#### 七、线性系统的BIBO稳定性和BIBS稳定性
- **BIBO稳定性**（有界输入有界输出）：如果对于任何有界的输入信号 $u(t)$，系统的输出 $y(t)$ 也是有界的，则称系统是BIBO稳定的。
- **BIBS稳定性**（有界输入有界状态）：类似地，如果对于任何有界的输入信号 $u(t)$，系统的状态 $x(t)$ 也是有界的，则称系统是BIBS稳定的。
稳定性的概念是理解线性系统行为的基础，通过掌握不同类型的稳定性及其判据，我们可以更好地设计和分析复杂的系统。
