高等数学复习.doc

高等数学简介 初等数学研究的是常量，高等数学研究的是变量。 高等数学(也称为微积分,它是几门课程的总称)是理、工科院校一门重要的基础学科。作为一门科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应 高等数学是理工科学生的基础课程，它主要研究变量和函数，包括微积分的诸多概念和应用。本复习资料涵盖了函数、连续与极限、导数、微分及其应用、不定积分与定积分、向量代数、多元函数微分以及空间解析几何等内容。 一、函数、连续与极限 函数是描述变量之间关系的数学模型，有多种类型如复合函数、分段函数、反函数、隐函数和初等函数。极限是理解函数行为的关键，涉及左右极限、夹逼定理和等价无穷小。例如，使用洛必达法则和泰勒级数求解极限问题，以及利用闭区间上连续函数的性质，如有界性、最值和介值定理。 二、导数、微分及其应用 导数是刻画函数变化率的工具，具有几何、物理意义，用于求解切线、法线方程，判断单调性、极值、凹凸性及渐近线。微分中值定理，如Roll定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理，是证明和应用中的核心。例如，通过导数确定函数的单调区间、极值点，以及计算曲率。 三、不定积分与定积分 不定积分是导数的逆运算，用于计算原函数，其性质包括线性、积分与微分的关系。定积分则用来解决几何问题（如面积、体积）、物理问题（如功、力、压强）和函数平均值。通过换元法、分部积分法等技巧求解积分问题。 四、向量代数、多元函数微分与空间解析几何 向量代数涉及向量的模、方向余弦以及平行、垂直的条件。多元函数微分研究二元函数的连续性、偏导数和全微分，包括复合函数和隐函数的求导。空间解析几何探讨曲线的切线和平面的法线，以及平面和直线方程的求解。 五、多元函数的积分 多维空间中的积分，如二重积分和三重积分，用于计算曲面、体积和积分平均。Lagrange乘数法用于求解约束条件下的极值问题。 复习过程中，应注重理论理解与实践操作相结合，通过各种题型的练习加深对知识点的理解，如求解极限、导数、积分，分析函数性质，解决实际应用问题。此外，补充习题和作业提供了进一步巩固知识的机会。在准备高等数学考试时，务必全面复习这些内容，并进行大量的练习，以提高解题能力和应用水平。