NOIP基础算法综合-91页 PPT PDF版.pdf

### NOIP基础算法综合知识点详解 #### 一、枚举算法概述 **枚举法**是一种基本的算法思想，主要用于解决那些可以通过穷举所有可能性来找到解决方案的问题。它通过设计多重循环来遍历所有可能的状态，并利用问题的具体约束条件来筛选出符合条件的状态。 #### 二、枚举法的基本思想 枚举法的基本思想是基于以下步骤： 1. **设计多层循环**：根据实际问题设计多层循环来枚举所有可能的状态。 2. **约束条件检验**：对于每一个状态，使用问题给定的约束条件进行检验，判断该状态是否满足要求。 3. **状态选择**：找出那些能够使命题成立的状态，即问题的解。 #### 三、枚举法适用条件 枚举法适用于以下两种情况： 1. **状态元素个数可预知**：能够预先确定每个状态的元素个数。例如，在“百钱买百鸡”问题中，我们知道每种鸡的数量是有限的。 2. **状态元素值域可预知**：能够预先确定每个状态元素的取值范围。例如，每种鸡的价格是固定的。 #### 四、枚举法的框架结构 枚举法的通用框架如下： ```plaintext for(a1=a11;a1<=a1k;a1++) for(a2=a21;a2<=a2k;a2++) .. for(ai=ai1;ai<=aik;ai++) .. for(an=an1;an<=ank;an++) if(状态(a1,,ai,an)满足检验条件) 输出问题的解; ``` 这里，`a11`至`a1k`表示状态元素`a1`的取值范围，依次类推。 #### 五、枚举法的优缺点 **优点**： - **直观易懂**：枚举算法通常基于对现实问题的直接转换，因此易于理解和验证。 - **适用范围广**：适用于各种需要穷举可能性的问题。 **缺点**： - **效率较低**：枚举法需要遍历所有可能的状态，这可能会导致计算量非常大。 - **不适合大规模问题**：当状态空间很大时，枚举法可能无法在合理的时间内完成计算。 #### 六、例题解析 **例题1：砝码称重** - **问题描述**：已知有1g、2g、3g、5g、10g、20g的砝码若干枚（总重≤1000），求用这些砝码能称出的不同重量个数。 - **输入**：输入每种砝码的数量。 - **输出**：输出能称出的不同重量的个数。 **解析**： 1. **枚举对象**：6种不同重量的砝码。 2. **枚举范围**：每种砝码的个数。 3. **判重方法**：使用一个大小为1001的数组`a[]`来记录每种重量是否出现过。 **伪代码**： ```plaintext memset(a,0,sizeof(a)); for(c[1]=0;c[1]<=a;c[1]++) for(c[2]=0;c[2]<=b;c[2]++) ... for(c[6]=0;c[6]<=f;c[6]++) { sum = 0; for(i=1;i<=6;i++) sum += c[i]*w[i]; a[sum] = 1; // 标记 } for(i=1;i<=1000;i++) if(a[i]) num++; // 统计不同重量的个数 cout << num << endl; ``` **例题2：火柴棒等式（NOIP2008）** - **问题描述**：给定n根火柴棍，可以拼出多少个形如“A+B=C”的等式？ - **输入**：火柴棍数量n。 - **输出**：输出满足条件的等式的个数。 - **条件限制**：n ≤ 24，所有火柴棍必须用完。 **解析**： 1. **枚举对象**：A和B的取值。 2. **枚举范围**：A和B的取值范围为0~1111。 3. **优化策略**：提前计算每个数字所需的火柴棍数量。 **结论**：通过以上例题的解析，我们可以看出枚举法在解决特定类型的问题时是非常有效的。它不仅能够帮助我们找到问题的解，还能让我们更好地理解问题的本质。然而，枚举法的效率问题也不容忽视，特别是在处理大规模数据时。因此，在实际应用中，我们需要结合具体问题的特点来选择最合适的算法。