95、1268：【例9.12】完全背包问题(2020.03.19)A.pdf

完全背包问题是一类典型的动态规划问题，在计算机科学和算法设计领域中有着广泛的应用。它和0-1背包问题类似，都需要在限定的背包容量内，选择物品装入背包以获得价值的最大化，不同的是，完全背包问题中每个物品可以无限次选择装入背包。 问题的描述一般是这样的：给定n种物品，每种物品都有自己的重量w[i]和价值c[i]。背包能够携带的最大重量为m。求出在不超过背包最大重量的条件下，背包能够装载物品的总价值最大是多少。 在上述文件中，提供了三种解决完全背包问题的方法： 解法一：二维动态规划数组解法 该方法使用了一个二维数组f[i][v]来存储前i件物品在总重量不超过v时的最大价值。状态转移方程为： f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i][v-w[i]] + c[i]) 这里，f[i-1][v]表示不选择第i件物品时的最大价值，而f[i][v-w[i]] + c[i]表示选择第i件物品时的最大价值。最后的答案为f[n][m]。 解法二：一维动态规划数组解法 该方法将二维数组压缩为一维数组f[v]，从而减少了空间复杂度。状态转移方程修改为： f[v] = max(f[v], f[v-w[i]] + c[i]) 这里，只需要在内层循环时，从v=w[i]开始更新，保证在计算f[v]时，f[v-w[i]]仍然是上一个物品i之前的最优解。 解法三：一维滚动数组解法 这个方法在解法二的基础上进一步优化，通过一个从大到小的循环，使用一个函数CompletePack来更新f[v]，避免了重复计算f[v]的值。这个函数会遍历物品i的所有可能重量，将其价值累加到f[v]上，从而得到当前物品i下的最优解。这个方法在某些情况下比直接的双重循环更加高效。 除了上述三种解法，完全背包问题还可以用贪心算法、分治算法等多种方法来解决，具体选择哪种算法取决于问题的具体条件和要求。 在实现算法时，由于完全背包问题的物品可以无限次使用，因此在动态规划的循环中不需要像0-1背包问题那样限制每个物品只使用一次，而是可以多次选择同一件物品。这也正是完全背包问题与0-1背包问题的最大区别。 在编程实现时，通常会遇到输入输出优化、数组边界处理以及避免不必要的循环等小问题，这需要在编码时仔细处理，以确保程序的正确性和效率。同时，在实际编码时，为了代码的可读性和可维护性，使用良好的变量命名和代码注释也是十分重要的。