计算几何专题WelcomeToPKUJudgeOnline计算几何专题欢迎来到北大在线评测.ppt

计算几何是计算机科学中的一个重要分支，它涉及到几何形状的建模、分析以及算法设计。北京大学的在线评测系统中专门设置了计算几何专题，旨在帮助学习者深入理解和掌握这一领域的核心概念和算法。 计算几何的基本元素包括点、线、角、平面、半平面、圆以及多边形等。其中，点可以用笛卡尔坐标系中的坐标来表示，线则可以通过直线方程描述，例如两点式或点斜式；角度可以通过点积或余弦定理计算，而夹角的计算通常会用到叉积；圆则由圆心和半径定义，两圆之间的关系包括外离、外切、相交、内切、内含和同心。 计算几何中的一个常见问题是判断线段是否相交。这需要了解线段的表示方法，如端点坐标，以及向量的叉积和点积。通过解析几何的方法或者利用叉积的正负性，可以判断两条线段是否规范相交（即不共端点的相交）或非规范相交（共端点但延伸后相交）。 点与多边形的位置关系是另一个关键问题。多边形的表示方式有多种，包括按照顺序存储顶点，以及判断是否为凸多边形或自交。点的位置关系通常分为在多边形内部、边界上和外部。对于凸多边形，可以利用左链和右链的概念，结合二分法进行高效判断，复杂度为O(nlogm)，其中n是点的数量，m是多边形的边数。 凸包是计算几何中的经典问题，其求解算法的时间复杂度下限是O(nlogn)。凸包是包含所有点的最小凸多边形，求凸包的算法有Graham扫描、Andrew折线法等。凸包的应用广泛，如点与凸包的位置关系、计算面积、找到凸包上的最远点、两个凸包的交集等。此外，凸包还可以与其他算法结合，比如在动态规划中使用。 半平面的交是计算几何中的难题，因为可能需要处理大量的交点。基本的解决方法可能达到O(n^2)的时间复杂度，但更高效的算法如扫线法可以将其优化到O(nlogn)。在实际应用中，例如判断两个点集（如黑色点和白色点）的位置关系，可以通过比较它们的凸包来确定是否可以用一条直线将它们分开，或者一个凸包包含另一个。 练习题如1113、1271、3521、1066、2069和3502，可以帮助巩固这些知识点并提升解决问题的能力。对计算几何的深入理解和熟练运用，需要对基础概念有扎实的掌握，同时不断练习和熟悉各种算法，才能在实际问题中游刃有余。在比赛中，策略上要对计算几何问题保持冷静，战术上要注重思路的快速形成，避免在细节上耗费过多时间。