复习二次函数.ppt

二次函数是初中数学中的核心概念，它在许多实际问题中都有广泛应用，如物理中的运动轨迹、工程中的优化问题等。本篇文章将详细讲解二次函数的基本概念、性质、顶点与对称轴的确定，以及图象的位置与系数的关系。 1. **定义**： 二次函数的一般形式为 `y=ax^2+bx+c`，其中 `a`、`b`、`c` 是常数，且 `a≠0`。这个方程描述了一个开口向上或向下的抛物线，`a` 的正负决定抛物线的开口方向：`a>0` 表示开口向上，`a<0` 表示开口向下。 2. **顶点与对称轴**： - **对称轴公式**：对称轴是抛物线关于某直线对称的性质，其公式为 `x=-b/(2a)`。 - **顶点坐标**：根据对称轴公式，可以计算出顶点的横坐标 `h=-b/(2a)`，将 `h` 代入原方程得到纵坐标 `k=c-(b^2)/(4a)`，所以顶点坐标为 `(h, k)`，即 `( -b/(2a), c-b^2/(4a) )`。 - **顶点式**：若已知顶点坐标 `(h, k)`，二次函数可以写成 `y=a(x-h)^2+k`，这样的形式更便于分析图象的形状和位置。 3. **解析式的求法**： - **一般式**：适用于已知任意三个点的情况下，通过解方程组来确定 `a`、`b`、`c` 的值。 - **顶点式**：适用于已知顶点坐标及另一点坐标，直接代入求解。 4. **图象位置与系数的关系**： - **a**：决定了开口方向，同时也影响抛物线的形状。开口越大，`|a|` 越大。 - **b**：决定了对称轴的位置。`b` 与 `a` 的乘积 `ab` 决定了对称轴是靠近原点还是远离原点。`ab>0` 时对称轴在 y 轴右侧，`ab<0` 在左侧，`ab=0` 时对称轴就是 y 轴。 - **c**：决定了抛物线与 y 轴的交点位置。当 `c>0` 时，抛物线与 y 轴正半轴相交；`c=0` 相交于原点；`c<0` 相交于负半轴。 - **b²-4ac**：判别式，决定了抛物线与 x 轴的交点个数。`b²-4ac>0` 有两个交点，`b²-4ac=0` 有一个交点（顶点在 x 轴上），`b²-4ac<0` 没有交点（图象不与 x 轴相交）。 理解以上知识点，我们能够更好地分析和描绘二次函数的图象，解决与之相关的实际问题，例如求解最大值或最小值、判断图形的对称性、预测物体的运动轨迹等。通过深入学习，我们可以运用二次函数的性质来解决复杂的数学和物理问题，进一步提升我们的数学素养和解决问题的能力。