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【初一升初二衔接教材——无理数与平方根】 初一升初二的学生在数学学习过程中，需要掌握无理数和平方根的概念及其运算规则，这是衔接初一和初二数学知识的重要部分。以下是对这部分内容的详细讲解： 一、基础知识 1. 无理数：无理数是指那些不能表示为两个整数比例的无限不循环小数。例如π（圆周率）、√2（根号2）等。 2. 平方根：平方根是指一个数的平方等于给定正数的数。如果 x2 = a（a ≥ 0），则 x 称为 a 的平方根，可以表示为±√a，其中正号表示正平方根，负号表示负平方根。 3. 平方根的性质： - 正数有两个平方根，它们互为相反数。 - 0 有一个平方根，即0本身。 - 负数没有平方根。 4. 算术平方根：正数 a 的正平方根称为 a 的算术平方根，记作√a，0 的算术平方根也是0。 5. 算术平方根的性质：非负数的算术平方根是非负数，即 √a ≥ 0（当 a ≥ 0 时）。 6. 开平方：求一个数 a 的平方根的运算称为开平方，a 称为被开方数。平方与开平方互为逆运算。 二、例题精讲 例1：判断正误 - ① 错误，±6 是 36 的平方根。 - ② 正确，1 的平方根是 ±1。 - ③ 错误，－9 没有平方根。 - ④ 错误，应该是 ±4。 - ⑤ 正确，9 是 81 的算术平方根。 - ⑥ 正确，|－16|的平方根是±4。 例2：求平方根和算术平方根 - (1) 169 的平方根是 ±13，算术平方根是 13。 - (2) 2 的平方根是 ±√2，算术平方根是 √2。 - (3) 10－2 的平方根是 ±8，算术平方根是 8。 例3：填空题 - (1) √9 的平方根是 ±3。 - (2) (－√2)2 的算术平方根是 √2。 - (3) 9－2 的平方根是 ±√7。 - (4) 若 |x－4|²+ y²=0，则 x=4，y=0（因为平方项非负，两式相加为0，所以两项都必须为0）。 例4：求解 x - (1) 9 = 34，解得 x = 4。 - (2) (3x－1)² = 25，解得 x = 2 或 x = -4。 三、同步练习 A组： 1. 填空题 - (1) 0.16 的平方根是 0.4，0.16 的平方是 0.064。 - (2) m 的另一个平方根是 -17。 - (3) 的平方根是 ±3，的算术平方根是 2。 2. 求 x - (1) 49(x² + 1) = 50，解得 x = 1 或 x = -1。 - (2) (3x－1)² = (-5)²，解得 x = 2 或 x = -2。 3. 求值 - (1) 。 - (2) 。 B组： 1. 填空题 - 若 ，则 x 的所有可能值为 0。 - 。 - 正确的个数有 3 个，分别是 (3), (4), (5)。 - x 与 y 的关系是 x = y²。 2. 解答题 - (1) 3y + 5 的算术平方根为 -y + 5（y 为负数）。 - (2) 设 a² - b² = c，代数式的值为 2c。 家庭作业（一）： 1. 在实数 -2，0.123456...，π，√5，0.80108 中，无理数的个数为 3 个，分别是 0.123456...，π，√5。 以上内容详细解释了无理数与平方根的基本概念、性质、运算以及解题技巧，对于初一升初二的学生来说，理解和掌握这些知识将有助于他们在接下来的学习中更好地应对数学挑战。