### 大数据环境下求最小2连通r步控制集的两种算法
随着信息技术网络的快速发展，许多相关的理论问题引起了研究人员越来越多的关注。特别是在无线传感器网络领域，由大量传感器组成，这些传感器协同工作以感知、收集并处理感应区域内现象的原始信息，并将处理后的信息传输给观察者。如果每个传感器持续广播其接收到的所有消息，则可能会引发一系列问题：首先是能源浪费，其次是可能引起所谓的广播风暴。为缓解这些问题，提出了虚拟骨干的概念用于无线网络中的数据包路由与控制。
#### 网络拓扑结构与支配集概念
网络的基本拓扑结构可以用图论中的图来表示。在图G=(V,E)中，其中V是顶点集合，E是边集合，一个支配集(DS)D⊆V是指满足所有不在D中的顶点u都至少与D中的一个顶点相邻的顶点集合。对于顶点集合U⊆V，记G[U]为G中由U诱导出的子图。如果G[U]是连通的，则称D是一个连通支配集(CDS)。对于正整数r，若一个顶点u距离集合U中的某个顶点不超过r步，则称u被Ur-步支配(r-hop dominated)。若集合D⊆V使得每个顶点v∈V∖D都被Dr-步支配，则称D为r-步支配集(r-hop DS)。
#### 论文结构概览
本论文分为三个章节进行阐述：
1. **第一章**：介绍研究背景，并概述本论文的主要成果。
2. **第二章**：提出了一种贪婪算法来计算最小的2-连通r-步支配集。该算法的核心思想是利用2-连通图的耳分解(ear decomposition)。值得注意的是，此算法适用于任何一般图。
3. **第三章**：给出一种三阶段近似算法，在单位圆盘图(unit disk graph)中计算2-连通r-步支配集。在这个算法中，我们利用了一个事实：一个至少有三个顶点的图G是2-连通的当且仅当它的块(block)的数量等于G的顶点数量减去其连通分量的数量。
#### 第二章：贪婪算法计算2-连通r-步支配集
在第二章中，作者提出的贪婪算法基于2-连通图的特性，特别是耳分解这一概念。耳分解是一种特殊类型的图分解方法，通过这种分解可以有效地识别图中的连通性和结构特征。具体而言，耳分解将2-连通图分解成一系列“耳朵”，每个耳朵都是一个路径，除了端点外，其余的顶点都是新出现的。通过这样的分解，可以逐步构建出2-连通r-步支配集，确保每个顶点都在r步之内被支配。
#### 第三章：三阶段近似算法在单位圆盘图中的应用
第三章中介绍的三阶段近似算法主要针对单位圆盘图进行设计。单位圆盘图是一种特殊的图模型，通常用于无线传感器网络的建模，其中每个顶点代表一个传感器，而两个传感器之间存在一条边，当且仅当它们之间的距离小于或等于一个固定的阈值（通常是传感器的最大通信范围）。该算法通过以下三个步骤实现目标：
1. **初始化**：选择一个初始顶点作为种子集。
2. **扩展**：通过逐步添加能够增加r-步支配范围的顶点来扩展种子集，同时确保结果集保持2-连通性。
3. **优化**：最后对得到的结果集进行优化调整，尽可能减少顶点数量，以达到最小化2-连通r-步支配集的目标。
#### 结论与展望
通过对这两种算法的研究，不仅可以有效解决无线传感器网络中的广播风暴等问题，还能提高网络资源的利用率，降低能耗。此外，这两种算法的设计也为进一步探索更高效的算法提供了基础。未来的工作方向可能包括探索更广泛的图模型以及在实际应用场景中的性能评估。
