### 图论各种算法MATLAB实现解析
#### 一、引言
在计算机科学与数学领域，图论是一种研究节点（顶点）与边之间关系的理论。它在解决实际问题时有着广泛的应用，如网络设计、路径规划等。本文将详细介绍几种常用的图论算法，并通过MATLAB代码来实现这些算法，包括Floyd算法、Hamilton算法、Kruskal算法以及Prim算法。
#### 二、Floyd算法
**Floyd算法**是一种用于寻找加权图中所有顶点对之间的最短路径的算法。该算法通过动态规划的思想，不断更新中间顶点，最终得到任意两点间的最短路径。
##### MATLAB实现
```matlab
Floyd算法
clear;clc;
n=6;a=zeros(n);
a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;
a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;a(3,4)=10;a(3,5)=20;
a(4,5)=10;a(4,6)=25;a(5,6)=55;
a=a+a'; % 由于图是无向图，所以需要将矩阵转置求和得到完整的邻接矩阵
M=max(max(a))*n^2; % M为一个较大的正实数
a=a+((a==0)-eye(n))*M; % 将邻接矩阵中值为0的位置设置为极大值M，表示两个顶点之间没有直接连接
path=zeros(n);
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if a(i,j) > a(i,k) + a(k,j)
a(i,j) = a(i,k) + a(k,j);
path(i,j) = k;
end
end
end
end
a,path
```
#### 三、Hamilton算法
**Hamilton算法**旨在寻找一个图中是否存在一个经过每个顶点恰好一次的回路，即汉密尔顿回路。
##### MATLAB实现
```matlab
Hamilton算法
function main
clc,clear
global a
a=zeros(6);
a(1,2)=56;a(1,3)=35;a(1,4)=21;a(1,5)=51;a(1,6)=60;
a(2,3)=21;a(2,4)=57;a(2,5)=78;a(2,6)=70;
a(3,4)=36;a(3,5)=68;a(3,6)=68;a(4,5)=51;a(4,6)=61;
a(5,6)=13;a=a+a'; % 由于图是无向图，所以需要将矩阵转置求和得到完整的邻接矩阵
L=size(a,1);
c1=[51:46]; % 随机初始序列
[circle,long]=modifycircle(c1,L);
c2=[561:4]; % 改变初始序列
[circle2,long2]=modifycircle(c2,L);
if long2 < long
long=long2;
circle=circle2;
end
circle,long
% modifycircle 函数：修改序列
function [circle,long]=modifycircle(c1,L);
global a
flag=1;
while flag > 0
flag=0;
for m=1:L-3
for n=m+2:L-1
if a(c1(m),c1(n)) + a(c1(m+1),c1(n+1)) < a(c1(m),c1(m+1)) + a(c1(n),c1(n+1))
flag=1;
c1(m+1:n)=c1(n:-1:m+1);
end
end
end
end
long=a(c1(1),c1(L));
for i=1:L-1
long=long+a(c1(i),c1(i+1));
end
circle=c1;
end
```
#### 四、Kruskal算法
**Kruskal算法**是一种寻找最小生成树的算法，适用于非负权重的无向图。它通过逐步添加边来构建最小生成树。
##### MATLAB实现
```matlab
Kruskal算法
clc;clear;
a=zeros(7);
a(1,2)=50;a(1,3)=60;a(2,4)=65;a(2,5)=40;
a(3,4)=52;a(3,7)=45;a(4,5)=50;a(4,6)=30;
a(4,7)=42;a(5,6)=70;
[i,j,b]=find(a);
data=[i';j';b']; index=data(1:2,:);
loop=max(size(a))-1;
result=[];
while length(result) < loop
temp=min(data(3,:));
flag=find(data(3,:) == temp);
flag=flag(1);
v1=data(1,flag); v2=data(2,flag);
if index(1,flag) ~= index(2,flag)
result=[result,data(:,flag)];
end
index(find(index==v2))=v1;
data(:,flag)=[];
index(:,flag)=[];
end
result
```
#### 五、Prim算法
**Prim算法**也是一种用于寻找最小生成树的算法，适用于带权的连通无向图。它从任意一个顶点出发，每次添加一条边及其对端顶点到已有的树中。
##### MATLAB实现
```matlab
Prim算法
clc;clear;
a=zeros(7);
a(1,2)=50;a(1,3)=60;
a(2,4)=65;a(2,5)=40;
a(3,4)=52;a(3,7)=45;
a(4,5)=50;a(4,6)=30;a(4,7)=42;
a(5,6)=70;
a=a+a'; a(find(a==0))=inf;
result=[]; p=1; tb=2:length(a);
while length(result) ~= length(a)-1
temp=a(p,tb); temp=temp(:);
d=min(temp);
[jb,kb]=find(a(p,tb)==d);
j=p(jb(1)); k=tb(kb(1));
result=[result,[j;k;d]]; p=[p,k]; tb(find(tb==k))=[];
end
result
```
#### 六、总结
以上四种算法是图论中较为常见的算法，每种算法都有其独特的应用场景。Floyd算法适用于寻找图中所有顶点对之间的最短路径；Hamilton算法可以用于判断是否存在经过每个顶点恰好一次的回路；Kruskal算法和Prim算法则用于寻找图中的最小生成树，这两种算法虽然目标相同但实现方法不同，Kruskal算法从边的角度考虑问题，而Prim算法则是从顶点的角度考虑。通过上述MATLAB代码实现，我们可以更好地理解和掌握这些算法的具体实现过程。
