标题和描述中提到的是关于初中数学的一份练习题，主要涉及的是勾股定理的探索和应用。勾股定理是直角三角形中的一个基本定理，它指出在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。这份练习题分为A组和B组，涵盖填空题和解答题，旨在帮助学生巩固和深化对勾股定理的理解。
1. 题目中提到了验证勾股定理的不同方法，其中包括美国一位总统的验证方式。这可能是指托马斯·杰斐逊使用的一个几何方法，他通过切割和组合直角三角形来证明这个定理。
2. 在图②中，4个完全相同的直角三角形拼成了一个大正方形。大正方形的面积既可以表示为4个小直角三角形的面积之和，也可以表示为两个相同大小的正方形的面积之和。由此可以推导出勾股定理的另一种形式。
3. 弦图是由四个全等的直角三角形拼成的，显示了大正方形面积等于小正方形面积加上四个直角三角形面积。这再次验证了勾股定理：c²=a²+b²。
4. 在一个直角三角形中，如果CA=50m，CB=40m，根据勾股定理，可以计算出湖宽AB的长度，即AB=√(CA²+CB²)=√(50²+40²)=√4100米。
解答题部分涉及了以下几个知识点：
5. 对于以直角三角形三边作半圆的问题，半圆的面积是对应直角边长度的一半乘以π。因此，三个半圆的面积之和等于直角三角形斜边的面积，这是因为每个半圆的面积等于直角边的一半与π的乘积，而直角三角形的斜边面积等于两直角边的乘积除以2。
6. 这个问题涉及到三角形的边长关系。在一般三角形中，没有直接的关系，但在直角三角形中，最长边（斜边）的平方等于其他两边平方和（勾股定理）。可以通过作高或者运用三角函数来探究三边之间的关系。
7. 利用垂直平分线性质，可以知道AD是BC的中垂线，所以DB=DC。已知BC=8，AD=5，可以计算出AC的长度。
8. 折断的大树问题是一个实际应用问题，可以通过相似三角形来解决。树梢到地面的高度与折断点到根部的距离成比例，可以建立方程求解。
9. 通过面积公式，可以求出△ABC的面积。因为AB=AC，所以这是等腰三角形，BD是底边AC上的高，可以用1/2*底*高来计算面积。
10. "赵爽弦图"是古代中国数学家用来证明勾股定理的一种方法。通过四个全等的直角三角形和两个小正方形组成一个大的正方形，再根据面积关系来证明勾股定理。
以上就是练习题中涉及的主要数学知识点，包括勾股定理的验证、应用以及相关图形的面积关系。这些问题旨在培养学生的逻辑推理能力和几何直观，进一步理解和掌握勾股定理这一核心概念。
