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储油罐的变位识别与罐容表标定的数学模型[归纳].pdf
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储油罐的变位识别与罐容表标定的数学模型[归纳].pdf
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1
储油罐的变位识别与罐容表标定的数学模型
摘要
本文解决了储油罐罐容表变位后标定的问题。 通过把实际的储油罐抽象成直角坐标
系下的几何柱体, 然后从区分不同的油面高度入手建立了几何柱体体积的积分模型。 再
通过合理运用所给数据进行数据拟合, 得出了油量体积与油面高度之间的函数关系, 进
而进行理论与实际体积之间的误差分析和模型可行性分析。
针对问题一,首先对于无变位的小椭圆柱体建立了直角坐标系下的容积积分模型
(见第 4 页)。通过 Minitab15 软件对实验数据进行曲线拟合,得出一个油量作为高度
的函数关系。 利用这个函数关系计算出相应罐容表高度的实际油量容积, 对比理论积分
模型的容积值,计算出误差值(见表 3 和表 5)。观察知误差属于正常范围内,则得出
通过理论模型来标定的标准罐容表(见第 7 页表 6)。然后当只有纵向倾斜的变位时,
根据柱体内的倾斜油面将柱体容积分为三个部分,分段计算出相对应部分中的容积积
分,建立了变位后的分段容积积分模型, 通过 Matlab7.0 编程得出容积积分函数(见第
9 页)。而这个模型是与纵向倾斜角度和油高两个因素有关的。当倾斜角一定时,代入
条件数据进行拟合对比,得出模型是合理有效的,从而得出变位后的罐容表(见第 12
页表 7)。最后将每变化 0.01m 的油量变化量与标准罐容表作比,得出比例系数。
针对问题二, 将储油罐分割成两个球冠和一个圆柱三部分, 并将其截面放入平面直
角坐标系下建立容积积分模型, 分别求出各个部分的油量容积, 再相加求总容积(见第
15 页)。而当纵向倾斜和横向偏转都存在时,考虑将空间直角坐标系作一个相应变换,
即把轴乘以相应的三角函数得到新的坐标系, 此时积分模型得出的是关于两个倾斜角度
和高度的函数。 然后根据所给数据作拟合计算出实际油量, 且分别选取两个倾斜角度的
合理范围,固定高度后代入容积积分函数,将得到的油量与拟合出的实际油量作比较,
利用最小二乘的方法从两边逐步逼近,最终得出最优的倾斜角度(见第 17 页)和倾斜
后的罐容表(见第 17 页表 8)。最后,利用附件 2 中的实际检测数据对所建模型的正确
性与所运用方法的可靠性进行了分析。
[ 关键词 ] 椭圆柱;储油罐;积分模型
2
一、问题的重述
对于加油站的地下储油罐都有与之配套的“油位计量管理系统” ,工作人员采用流
量计和油位计来测量进 / 出油量与罐内油位高度等数据。再通过预先标定的罐容表进行
实时计算,以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 但由于地形变化而导致储油罐的
位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变位, 使得罐容表的标度不再准确。 故要研究变位与
罐容表之间的对应关系。其中的条件包括:
条件一:实际圆柱型 (两端为球冠体) 储油罐的尺寸及变位后的各项数据见附录一
图 1 至图 3,图 4 是小椭圆型储油罐模型(两端平头的椭圆柱体) 。
条件二:利用小椭圆型储油罐模型,分别对罐体无变位和倾斜角为 =4.1
0
的纵向
变位两种情况做了实验,实验数据见附件 1 所示。
条件三:问题只考虑纵向倾斜和横向偏转的变位,且纵向倾斜角度为 和横向偏
转角度为 。
要讨论的问题有:
问题一:针对小椭圆型储油罐,建立数学模型来研究罐体变位后对罐容表的影响,
并给出罐体变位后油位高度间隔为 1cm的罐容表标定值。
问题二:针对实际储油罐, 建立罐体变位后标定罐容表的数学模型,并用附录二的
数据确定 和 的值,给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm的罐容表标定值。进一步
利用附件 2 中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。
二、问题的分析
对于问题一, 首先计算无变位时的罐容表。 已知罐容表就是罐内油位高度与储油量
的对应关系,故要根据已给小椭圆型的数据,积分得出其体积与高度之间的关系,即建
立积分模型。具体做法是取从左往右的左视图, 将所截半椭圆面函数作为被积函数。然
后乘以罐长即得体积与高度的理论函数。 再利用无变位时进油出油的实验数据, 拟合出
油量作为高度的函数关系。 然后令高度为标准罐容表的刻度, 通过编程计算出高度间隔
为 1cm的油量体积数,即为标准罐容表。而用拟合出的关系函数,则可以计算出相应高
度的计算油量。将理论油量与计算油量做比较,可得出罐容表计量的误差。
再考虑变位后的罐容表。 由于小椭圆型油罐的两端是椭圆形, 故在研究积分时先分
段,以到一半长轴为界限,分别计算半椭圆的面积,从而得出被积函数的表达式。然后
乘以模型的长,就可以表达出变位时的体积公式。 用编程积分得体积与高度的函数,再
与拟合的函数比较,得出变位后的罐容表。
将标准罐容表与变位后的罐容表数值关于纵向倾斜角度 作比值,就可以得出变
位后对刻度的影响。
对于问题二, 类似于对问题一的分析, 首先计算实际标准储油罐的体积与高度的函
数关系,同样要建立积分模型。 由于标准储油罐的两端是球冠体,因此可以将储油罐分
成两部分分别积分, 即分为圆柱体和两个球冠体。 为了方便积分,可以取从上往下的视
角,即俯视图,来对所截平面积分。故应设油高为积分变量,用高度表示不同油量时球
冠弧对应的半径,从而计算出球冠处的面积,最后编程积分得理论函数。
当有变位时,加入两个角度值为自变量, 用实验数据二来代入计算,得出角度与罐
容表的函数。
3
三、模型的假设
(1)不考虑储油罐内外温度的变化;
(2)油位探针的压力传感器在最下端;
(3)出油管等管的体积忽略不计;
(4)储油罐在进油后没有其他外在的抽油, 即进油后的总量与刚开始出油时等量;
四、符号说明
误差: ; 高端液高为
H
时的体积:
H
V (单位: m
3
);
椭圆长半轴: a ; 椭圆短半轴:
b
;
油高:
H
(单位: m); 油高坐标值:
h
;
储油罐长度:
L
(单位: m); 理论油量:
1
V
(单位: L);
实际进油油量:
2
V
(单位: L); 实际出油油量:
3
V
(单位: L);
储油罐的一半高度:
R
(单位: m); 储油罐球冠半径: r (单位: m);
储油罐球冠高: s (单位: m);
五、对问题一求解的小椭圆柱体容积积分模型
5.1 无变位积分模型
5.1.1 模型的建立
对于小椭圆型罐模型,把它转化成坐标系中的椭圆柱,如图 1;当向里面进油时,
油面是水平的,即从左往右看的左视图如图 2
y
图 1 椭圆柱 图 2 左视图
根据数学分析中的定积分应用知识
[1]
,将储油罐储油量计算问题转化成求椭圆柱容
积计算问题来处理。 当油面水平时,罐长是一定的, 且左面与右面的半椭圆面大小相同。
因此只需要计算侧平面图形椭圆的面积。 故在图 2 所建的直角坐标系中, 椭圆的方程为
2
2
2 2
1
y b
x
a b
,
h
Ⅱ
x
4
为了将面积表示成高度的函数,其中横坐标可表示为
2
2
2
2
1
y b
a
x a b y b
b b
。 (1)
取一个高度为
h
的积分元,即用
dy
作为积分变量。值得注意的是,上式不是标准
的椭圆方程,其目的是使得油高与纵坐标相一致。 由定积分知识得, 以椭圆方程为被积
函数,分别以油高坐标值和短半轴为上、下限,积分得图 2 中油所覆盖半椭圆面积
S
为
2
2
0
2
H
a
S b y b dy
b
, (2)
而要求的理论柱体体积为
2
2
1
0
2
H
a
V L b y b dy
b
, (3)
通过换元计算积分式 (3) 得理论体积为
2
2
1
0
2
H
a
V L b y b dy
b
2
2 2 2
1
arcsin
2
H b
a
L H b b H b b b
b b
。 (4)
上式就是表示油高与体积之间的理论函数。根据这个理论函数,令 0,1.2H 且按
1cm的增量递增,代入式 (4) 就可以计算出相应高度的油量体积,即刻画出标准罐容表。
5.1.2 模型的求解
对于小椭圆型的储油罐模型,已有数据为
1.78
0.89
2
a ,
1.2
0.6
2
b , 2.45L ,
将其代入 (4) 式,得理论容积作为油高的函数关系为
2 2
1
0.89 1
2.45 0.6 2 0.6 0.6 arcsin 1 0.6
0.6 0.6 2
H
V H H H
2
3.63 0.6 1.2 0.36arcsin 1 0.5652
0.6
H
H H H
。 (5)
为了先标刻出标准罐容表的刻度,利用问题的约束条件,令 0,1.2H 且按 1cm的
增量递增,代入式 (6) 计算得出理论油量体积,即罐容表。部分数据见如下的表 1:
表 1 理论罐容表
高度
h
(m) 理论油量(L) 高度
h
(m) 理论油量(L) 高度
h
(m) 理论油量(L)
0.31 839.5066865 0.36 1034.824992 0.41 1238.084215
0.32 877.8381279 0.37 1074.904214 0.42 1279.521315
0.33 916.5526829 0.38 1115.284782 0.43 1321.186751
0.34 955.6331116 0.39 1155.951504 0.44 1363.066695
0.35 995.0626542 0.40 1196.889508 0.45 1405.147528
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