二次型和正定矩阵[定义].pdf
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二次型
2007-029-8
设
mn
A
是实矩阵， E为 n 级单位矩阵。已知矩阵
.B E A A
证明：当
0
时，矩阵 B为正定矩阵。
2007-029-9
已知二次曲面方程为
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
2 5 5 4 4 8 1.x x x x x x x x x （1）求正交变换把该二次
曲面的方程化为标准形； （2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？
2007-008-8
已知矩阵
8111
1811
1181
1118
A
(1) 求二次型
4
3
2
1
43214321
),,,(),,,(
x
x
x
x
Axxxxxxxxf ;
(2) 用正交线性替换化二次型 ),,,(
4321
xxxxf 为标准型 ;
(3) 证明 A
T
),( 定义了
4
R 上的内积 , 其中 , 是
4
R 的列向量 ,
T
是 的转置 , 并求
在该内积下
4
R 的一组标准正交基 .
(4) 求实对称矩阵 B使得
AB
k
, 其中 k 为正整数 ( 只要写出 B的表达式 , 不必计算其中的矩
阵乘积 )
2007-021-7
1 2 1 2 3 4 2 1 2
( , ,..., ) ...
n n n
f x x x x x x x x x求二项式 的秩和正负惯性指数之差 .
2007-012-2
求实二次型
324131214321
2422),,,( xxxxxxxxxxxxf 的规范形及符号差。
2007-001（A）-1
化二次型
1 2 3 1 2 2 3 1 3
, , 2 2 2f x x x x x x x x x 为标准型 ,并给出所用的非退化线性替换 .
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czq131452007
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