高等代数简明教程2.3线性方程组的理论课题
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2020-10-12
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1. 求数域 K 上下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用它表出方程组的全部
解。
（1）
1
2
3
(1, 2,1,0,0)
(5, 6,0,0,1)
(1, 2,0,1,0)
=−
=−
=−
1 1 2 2 3 3
k k k
= + +
（2）
1
8 13
(2, 4, , ,1)
33
=
11
k
=
（3）
1
2
1 1 2 2
1 1 1
( , ,1,0)
2 2 2
7 5 5
( , , ,0,1)
8 8 8
kk
= − −
=−
=+
，
（4）只有零解
（5）
1
11
(0,1, 2,1)
k
=
=
（6）
1
2
3
1 1 2 2 3 3
(0,1,1, 0, 0)
(0,1, 0,1, 0)
15
( , ,0,0,1)
33
k k k
=
=
=−
= + +
2. 证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系
首先线性无关，又因为任一解向量可由基础解系线性表示，该向量组与基础
解系等价，因此任一解向量也可由该线性无关向量组线性表示，因此其也为基础
解系。
3.如果一个齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 r，证明：方程组的任意 n-r 个
线性无关的解向量都是它的一个解系。
因为系数矩阵 A 的秩为 r，所以基础解系含有 n-r 个解向量，对于方程组的任
意 n-r 个解向量，且线性无关，所以任一解向量可由其线性表示（思路可参考
取 r 个线性向量就构成极大无关组的证明），所以其构成一个解系。
4. 证明
设 A 的秩为 r,齐次线性方程组的解为
1 1 2 2
...
rr
k k k
= + + +
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