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"数学分析考试题2文件.pdf" 微积分思想的产生与发展历史 数学发展处于初等数学时期之前，人类只能研究常量，而对于变量则束手无策。在几何上只能讨论三角形和圆，而对于一般曲线则无能为力。到了17世纪中叶，由于科学技术发展的需要，人们开始关注变量与一般曲线的研究。在力学上，人们关心如何根据路程函数去确定质点的瞬时速度，或者根据瞬时速度去求质点走过的路程。在几何上，人们希望找到求一般曲线的切线的方法，并计算一般曲线所围图形的面积。令人惊讶的是，不同领域的问题却归结为相同模式的数学问题：求因变量在某一时刻对自变量的变化率；因变量在一定时间过程中所积累的变化。前者导致了微分的概念；后者导致了积分的概念。两者都包含了极限与无穷小的思想。 中国古代的微积分思想 公元前4世纪，中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论述：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”其中大一和小一就是无穷大和无穷小的概念。而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”更是道出了无限分割的极限思想。公元3世纪，中国古代数学家刘徽首创的割圆术，即用无穷小分割求面积的方法，就是古代极限思想的深刻表现。他用圆内接正多边形的边长来逼近圆周，得到了142704.3141024.3<< π，并深刻地指出：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。” 祖暅（中国古代数学家祖冲之之子）发展了刘徽的思想，在求出球的体积的同时，得到了一个重要的结论（后人称之为“祖暅原理”）：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。”用现在的话来讲，一个几何体（“立积”）是由一系列很薄的小片（“基”）叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积（“幂势”）都相同，那它们的体积（“积”）必然相等。利用祖暅原理求球体的体积：取一个几何体为上半球体{}；将圆柱体{2222,xyzRz++≤≥0222xyR+≤，0zR≤ ≤ } 减去（即挖去）倒立的圆锥{222xyz+≤ ， 0zR≤ ≤ } 视为另一个几何体。则对任意的0zR≤ ≤ ，过 (0,0, )z 点作水平截面，得到的截口面积相等，都为，由此得到球体的体积为(22Rzπ-)343VRπ=。 十七世纪前的微分学与积分学发展历史 公元前5世纪，古希腊数学家安提丰（Antiphon）创立了“穷竭法”，认为圆内接正多边形当边数不断增加，最后多边形就与圆相合。公元前2世纪，古希腊数学家阿基米德（Archimedes）对“穷竭法”作出了巧妙的应用，他在《论抛物线求积法》中用“穷竭法”求抛物弓形的面积，他构造了一系列三角形使它们的面积和不断接近抛物弓形的面积，这就是极限理论的最初形式。在《论球和柱体》一书中，阿基米德首先得到了球和球冠的表面积、球和球缺的体积的正确公式。阿基米德的著作代表了古希腊数学的顶峰。 1615年，德国数学家开普勒（J. Kepler, 1571-1630）用无穷小微元来确定曲边形的面积与体积。他把圆看作边数无限多的多边形，圆2周上每一点看作是顶点在圆心高等于半径的极小等腰三角形的底，于是圆面积就等于圆周长与半径乘积之半。他把球看作面数无限多的多面体，球面上每一点看作是顶点在球心高等于半径的极小圆锥的底，于是球体积就等于球表面积与半径乘积之三分之一。他还用无穷小方法精确地计算出酒桶的体积，并写了《测量酒桶体积的新科学》，书中包含了87种不同的旋转体的体积计算。 开普勒最重要的贡献是提出了行星运行三大定律：（1）行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在此椭圆的一个焦点上。（2）从太阳到行星的向径在相等的时间内扫过相等的面积。（3）行星绕太阳公转周期的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。可以说这是天文学上划时代的贡献，也是数学史上重要的里程碑。牛顿就是应用开普勒的行星运行三大定律，通过严格的数学推导，发现了万有引力定律。