### QR 分解详解
#### 一、QR 分解概述
QR 分解是数值分析中一个重要的线性代数工具，广泛应用于求解线性方程组、最小二乘问题、特征值问题等领域。该方法的核心思想是将一个矩阵分解为一个正交矩阵 Q 和一个上三角矩阵 R 的乘积形式，即 A = QR。其中 Q 的列向量是单位正交向量，R 是上三角矩阵。
#### 二、Gram-Schmidt 正交化过程
Gram-Schmidt 正交化过程是一种从一组线性独立的向量中构建一组正交（或正交归一化）向量的方法。其基本步骤如下：
1. **初始化**：设 {X1, X2, ..., Xn} 为一组线性独立的向量，目标是构造一组正交向量 {Q1, Q2, ..., Qn}。
2. **第 1 步**：计算 r11 = √<X1, X1>，并令 Q1 = (1/r11)X1。
3. **第 2 步**：如果 j = n，则算法完成；否则，增加 j 的值继续执行。
4. **第 3 步**：
- 计算 r_ij = <Q_i, X_j> 对于 i = 1, 2, ..., j-1。
- 计算 Y_j = X_j - Σ_{i=1}^{j-1} r_ij Q_i。
- 计算 r_jj = √<X_j, X_j>。
- 计算 Q_j = (1/r_jj)Y_j。
5. **返回第 2 步**：重复步骤直到 j = n。
#### 三、QR 分解的实现
对于任何 m × n 矩阵 A (m ≥ n)，可以将其分解为 Q 和 R 的乘积形式，其中 Q 的列向量是单位正交向量，R 是上三角矩阵。这一分解的过程可以通过修改 Gram-Schmidt 正交化过程来实现：
1. **初始化**：设 r_kk = √<X_k, X_k> 并令 Q_k = (1/r_kk)X_k。
2. **计算系数**：对于 j = k + 1, k + 2, ..., n，设置 r_kj = <Q_k, X_j>。
3. **更新向量**：对于 j = k + 1, k + 2, ..., n，将 X_j 替换为 X_j - r_kj Q_k。
4. **重复上述步骤**，直到所有向量都已处理完毕。
#### 四、实例演示
考虑以下矩阵 A：
\[
A =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]
1. **第一轮迭代**：
- 计算 r11 = ||A1||_2 = √3，得到 Q1 = (1/√3)[0, 1, 1, 1]^T。
- 计算 r12, r13, r14，并更新 A2, A3, A4。
2. **第二轮迭代**：
- 计算 r22 = ||A2||_2 = √(15/3)，得到 Q2 = (1/√15)[3, -2, 1, 1]^T。
- 更新 A3, A4。
3. **第三轮迭代**：
- 计算 r33 = ||A3||_2 = √(35/5)，得到 Q3 = (1/√35)[3, 3, -4, 1]^T。
- 更新 A4。
4. **第四轮迭代**：
- 计算 r44 = ||A4||_2 = √(63/7)，得到 Q4 = (1/√7)[1, 1, 1, -2]^T。
最终得到矩阵 A 的 QR 分解：
\[
A = QR
\]
其中，
\[
Q =
\begin{pmatrix}
0 & 3/\sqrt{15} & 3/\sqrt{35} & 1/\sqrt{7} \\
1/\sqrt{3} & -2/\sqrt{15} & 3/\sqrt{35} & 1/\sqrt{7} \\
1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{15} & -4/\sqrt{35} & 1/\sqrt{7} \\
1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{15} & 1/\sqrt{35} & -2/\sqrt{7}
\end{pmatrix},
\]
\[
R =
\begin{pmatrix}
\sqrt{3} & * & * & * \\
0 & \sqrt{15/3} & * & * \\
0 & 0 & \sqrt{35/5} & * \\
0 & 0 & 0 & \sqrt{63/7}
\end{pmatrix}.
\]
#### 五、结论
通过上述介绍可以看出，QR 分解是一种非常有用的数值分析工具。它不仅可以用于解决各种线性代数问题，还可以作为其他复杂算法的基础。掌握 QR 分解的基本原理及其应用方法对于深入理解数值计算至关重要。
