数值分析实验题(-华科).doc

【数值分析实验题——多项式插值的振荡现象】 在数值分析中，多项式插值是一种常见的近似方法，用于构建一个多项式函数来精确地通过一组给定的离散数据点。这个实验主要探讨了在固定区间上，随着插值节点数量的增加，拉格朗日插值多项式的性质，特别是它对于函数逼近的效果，以及可能出现的振荡现象，即Runge现象。 Runge现象是由德国数学家Carl Runge于19世纪末发现的，它揭示了一个有趣的现象：当我们在一个较大区间内使用等间隔的节点进行高次多项式插值时，插值多项式可能在节点间产生剧烈的振荡，导致插值结果远离原函数。这个现象对于数值计算来说是个挑战，因为它意味着高次插值并不总能提供更好的近似。 实验内容涉及两个部分： 1. 在区间[-1,1]上，使用等距离划分的节点，构建拉格朗日插值多项式`Ln(x)`。当节点数n逐渐增加（n=2,3,...）时，绘制原函数`f(x)`及`Ln(x)`的图形，并对比分析。观察随着节点数增加，插值多项式的行为是否更接近原函数，还是出现了振荡现象。 2. 对其他函数，如定义在[-5,5]上的函数`h(x)`，重复上述实验，观察Runge现象是否普遍存在于各种函数中。 实验结果表明，对于函数`f(x)`，随着插值点的增加，拉格朗日插值多项式`Ln(x)`的振荡现象逐渐明显。当n=2时，插值效果尚可，但随着n的增加，`Ln(x)`的波动变得越来越大，甚至在某些区域偏离原函数`f(x)`。同样，对于函数`h(x)`，随着n的增大，振荡现象也逐步出现，尤其是在n=7时，波动尤其剧烈。 这种振荡现象的出现主要是由于等间隔节点的选择。等间隔节点容易导致高次插值多项式对高频率成分过度放大，从而引起插值结果的不稳定性。为了避免Runge现象，可以采用更合理的节点分布，比如Chebyshev节点，它们在区间两端更密集，能更好地抑制高次项的影响。 总结来说，这个实验强调了在数值插值中选择合适节点的重要性，以及理解并避免Runge现象对于提高插值精度的关键性。对于实际应用，我们应当谨慎选择插值方法和节点分布，以确保得到的近似结果既稳定又准确。此外，对Runge现象的研究也促进了插值理论的发展，比如产生了多项式插值的替代方法，如最小二乘插值和样条插值，这些方法在处理类似问题时表现出更好的性能。