数学实验第三次作业.docx

在本数学实验中，我们探讨了如何利用数据拟合的方法来确定Cobb-Douglas生产函数中的参数。Cobb-Douglas生产函数是经济学中一个经典的模型，它描述了产出（Q）与投入要素——资本（K）和劳动力（L）之间的关系。该函数表达式为： \[ Q (K, L) = a K^{\alpha} L^{\beta} \] 其中，\( a \), \( \alpha \), 和 \( \beta \) 是待求的参数，它们分别代表生产效率、资本产出弹性以及劳动力产出弹性。这些参数通常通过实际经济数据来估算。 实验提供了美国马萨诸塞州1900年至1926年的产值（Q）、资本（K）和劳动力（L）的数据。为了求解参数，首先将这些数据整理到一个矩阵中，并分别提取出年份（a）、产值（Q）、资本（K）和劳动力（L）的列。 接下来，我们需要建立一个函数（CDfun）来模拟Cobb-Douglas生产函数。这个函数接收三个参数 \( x \)（包含a、α和β的初始猜测值），以及两个输入向量 \( y \)（分别代表K和L的数据），并返回预测的产值（Q）。 \[ b = cdfun(x, y) \] 其中 \( b = x_1 \cdot (y_1^\alpha) \cdot (y_2^\beta) \)，\( x_1 \) 对应于 a，\( y_1 \) 和 \( y_2 \) 分别对应于K和L。 之后，采用最小二乘法（lsqcurvefit）进行参数估计。最小二乘法是一种优化技术，用于找到一组参数，使得函数值与实际数据的残差平方和最小。在这种情况下，我们初始化参数 \( p0 \) 为 [0.1, 0.1, 0.2]，然后用lsqcurvefit函数对CDfun进行拟合，输入实际的K和L数据（y）以及产值数据（b）。 运行代码后，我们得到了参数估计值：\( A \) 代表 a，\( \alpha \) 和 \( \beta \) 分别代表α和β。实验结果显示： \[ A = 1.2246 \] \[ \alpha = 0.4612 \] \[ \beta = -0.1277 \] 然而，注意到这里 \( \beta \) 的值是负数，这在经济学意义上是不合理的，因为劳动力产出弹性不应为负。这可能是由于数据拟合过程中的误差或者初始参数猜测不恰当。通常，\( \alpha \) 和 \( \beta \) 都应该在0到1之间，且两者的和应接近1，以保证资本和劳动力的总产出弹性接近1，符合生产函数的基本假设。 为了得到更合理的估计，可能需要调整数据处理方法、改进函数拟合或改变参数的初猜值。此外，可以考虑检查数据的准确性，或者使用其他拟合方法，如非线性回归，来寻找合适的 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 值。