泰勒公式及其在在计算方法中的应用.docx
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2021-10-11
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泰勒公式在计算方法中的应用
摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,同时它是求解高等数学问题的一个重要
工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、
数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。通过本文的论述,可知泰勒公式可以使数值问
题的求解简便.
关键词：泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分
§1 引言
泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数,
进行函数值的计算;而且函数的 Taylor公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻
域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的
极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中
有重要的应用.
§2 泰勒（Taylor）公式
定理 1 设函数
在点 x 处的某邻域内具有 阶导数,则对该邻域内异于 x 的任意点 x ,
n 1
f (x)
0
0
在 x 与 x 之间至少存在一点 ,使得：
0
f (x )
f (x )
0
n
f (x) f (x ) f (x )(x x )
(x x )
……+
(x x ) R (x)
(1)
0
2
n
2!
n!
0
0
0
0
0
n
f
( )
(n1)
其中
(x x )
n1
（2）
R (x)
n
(n 1)!
0
公式（1）称为 f (x) 按 (x x ) 的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式, R (x) 的表达
0
n
式（2）称为拉格朗日型余项.
定理 2 若函数 f (x) 在点 x 存在直至n 阶导数,则有
0
f (x )
f (x )
0
n
(3)
f (x) f (x ) f (x )(x x )
(x x )
2
……+
(x x ) o((x x ) )
n n
0
2!
n!
0
0
0
0
0
0
公式(3)称为 f (x) 按 (x x ) 的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式,形如o((x x ) )
n
0
0
的余项称为佩亚诺型余项.
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苦茶子12138
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