约束优化算法：拉格朗日乘子法.pdf
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2021-09-14
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拉格朗日乘子法
约束优化问题的标准形式为：
min f (x), x R
n
s..t g
i
(x) 0,i 1,2,..., m
h
j
(x) 0, j 1,2,..., l
其中 f , g
i
, h
j
: R
n
R
约束优化算法的基本思想是：通过引入效用函数的方法将约束优化问题转换为无约束问
题，再利用优化迭代过程不断地更新效用函数，以使得算法收敛。
1. 罚函数法
罚函数法（内点法）的主思想是：在可行域的边界上筑起一道很高的“围墙”，当迭代
点靠近边界时，目标函数陡然增大，以示惩罚，阻止迭代点穿越边界，这样就可以将最优解
“挡”在可行域之内了。
它只适用于不等式约束：
min f (x), x R
n
s..t
它的可行域为：
g
i
0,i 1,2,..., m
D {x R
n
| g
i
(x) 0, i 1,2,..., m}
对上述约束问题，其其可行域的内点可行集
D
0
的情况下，引入效用函数：
min B(x, r) f (x) rB(x)
、
m
1
其中
B(x)
或
B(x)
| ln(g
i
(x)) |
g
i
(x)
i1
i1
m
算法的具体步骤如下：
给定控制误差
0
，惩罚因子的缩小系数
0 c 1
。
步骤 1：令
k 1
，选定初始点
x
(0)
D
0
，给定
r
1
0
（一般取 10）。
步骤 2：以
x
(k )
为初始点，求解无约束
min B(x, r) f (x) r
k
B(x)
m
1
(k )
其中
B(x)
或
B(x)
| ln(g
i
(x)) |
，得最优解
x x(r
k
)
g
i
(x)
i1
i1
m
步骤 3：若
r
k
B(x
转步骤 2.
(k )
)
，则
x
(k )
为其近似最优解，停；否则，令
r
k
cr
k
, k k 1
，
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