考研线性代数、概率公式

线性代数与概率是数学中的两个重要分支，它们在计算机科学、工程、统计学以及许多其他领域都有着广泛的应用。线性代数主要研究向量、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量等概念，而概率论则涉及随机事件、概率分布、条件概率、大数定律等内容。下面将对这两个主题进行深入探讨。 一、线性代数 1. 向量：线性代数的基础是向量，它可以表示为有序数列或者箭头，具有大小和方向。向量的运算包括加法、减法和标量乘法。 2. 矩阵：矩阵是由数字构成的矩形数组，可以用来表示线性变换或系统的一组线性方程。矩阵的运算包括加法、减法、标量乘法以及乘法（矩阵乘法不遵循交换律）。 3. 线性方程组：线性代数中的核心问题是解线性方程组。高斯消元法、克拉默法则和矩阵求逆是常用的解法。 4. 基与坐标：任何向量都可以表示为基向量的线性组合，这构成了向量空间的坐标系统。基变换可以改变向量的坐标表示。 5. 矩阵的特征值与特征向量：对于矩阵A，如果存在非零向量v使得Av=λv，那么λ称为A的特征值，v称为对应的特征向量。特征值和特征向量在很多问题中都扮演关键角色，如稳定性分析、谱理论等。 6. 逆矩阵与行列式：逆矩阵是矩阵的特殊形式，如果一个方阵A的逆存在，记作A^-1，那么AA^-1=A^-1A=I（单位矩阵）。行列式是矩阵的一种特殊值，用于判断矩阵是否可逆，以及求解线性方程组时的系数比例。 二、概率论 1. 随机事件：概率论研究随机现象，随机事件是可能发生的特定结果集。基本的概率运算有并、交和补。 2. 概率分布：概率分布描述了随机变量可能取的值及其概率。常见的离散分布有二项分布、泊松分布，连续分布有均匀分布、正态分布等。 3. 条件概率：条件概率P(A|B)是在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。贝叶斯定理是条件概率的重要应用，它用于更新先验概率。 4. 期望与方差：随机变量的期望是其所有可能值的加权平均，方差衡量随机变量的波动程度。 5. 大数定律：大数定律表明，随着试验次数的增加，样本频率趋于理论概率。这在统计推断和模拟实验中非常重要。 6. 协方差与相关性：协方差衡量两个随机变量的变化趋势是否一致，而相关性则是协方差标准化后的结果，介于-1和1之间，1表示完全正相关，-1表示完全负相关。 7. 极限定理：中心极限定理是极限定理的一种，它指出，独立同分布的随机变量序列的均值的分布趋向于正态分布。 线性代数和概率论的知识不仅对考研至关重要，也是理解和解决实际问题的必备工具。通过学习这些概念，可以更好地理解数据、建模复杂系统，并进行有效的统计推断。