函数的奇偶性是数学中的一个基础概念，特别是在解析函数和初等函数的研究中尤为重要。奇函数和偶函数的性质可以极大地简化我们对函数的理解和分析。以下将根据提供的题目内容详细阐述相关知识点：
1. **奇函数**的定义：如果对于函数f(x)，存在关于原点对称的定义域，且对于所有x满足f(-x) = -f(x)，那么f(x)是奇函数。例如题目中的g(x) = ax^3 + bx^2 + cx，因为它是f(x) = ax^2 + bx + c这个偶函数与x的奇次幂相乘，所以g(x)是奇函数。
2. **偶函数**的定义：如果对于函数f(x)，存在关于y轴对称的定义域，且对于所有x满足f(-x) = f(x)，那么f(x)是偶函数。如题目中的f(x) = ax^2 + bx + c，当b=0时，函数f(x)就是偶函数，因为二次项系数a和常数项c是偶函数，而一次项系数b为0，不会影响函数的奇偶性。
3. **奇函数与偶函数的性质**：
- 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
- 奇函数在原点的导数为零，偶函数在原点的二阶导数为零（如果函数连续可导的话）。
- 奇函数的和、差、积仍是奇函数，偶函数的和、差仍是偶函数，但奇函数与偶函数的积为奇函数。
4. **函数奇偶性的应用**：奇偶性可以帮助我们解决一些函数性质的问题，比如求解函数的解析式、确定函数的性质以及解方程。例如，题目中的第4题，利用f(-2) = -f(2)可以快速求出f(2)的值。
5. **奇函数与偶函数的性质在解题中的应用**：
- 在第6题中，由于两个奇函数的乘积是奇函数，那么f(x) - 2在(0, +∞)上有最大值5，意味着f(x) - 2在(-∞, 0)上有最小值-5，从而可以得出f(x)在(-∞, 0)上的性质。
6. **函数的单调性与奇偶性的结合**：在第11题中，题目给出了偶函数f(x)在[0, 2]上单调递减，这意味着它在[-2, 0]上单调递增。根据这个信息，我们可以推断m的取值范围，使得f(1-m) < f(m)成立。
7. **奇函数与偶函数的合成**：在第13题中，题目要求找到奇函数f(x)的表达式，已知当x > 0时的解析式，可以通过奇函数的性质f(-x) = -f(x)来确定x < 0时的表达式。
8. **函数奇偶性的证明**：在第12题中，利用函数的性质f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)，可以通过赋值法证明f(x)是偶函数。例如，选取y = -x，可以得到f(0) = 2f(x)f(-x)，进而推导出f(-x) = f(x)。
通过这些题目，我们可以看到函数奇偶性在解决实际问题中的重要作用，它不仅能帮助我们理解函数的内在结构，还能作为工具帮助我们简化计算，快速解决问题。在数学学习中，理解和掌握函数的奇偶性是非常关键的一步。
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