算法CJ2-09-动态规划之-多重混合，分组，二维费用背包问题 .pdf

### 知识点生成 #### 算法CJ2-09-动态规划之-多重混合，分组，二维费用背包问题 本知识点聚焦于动态规划中的多重、混合及分组二维费用背包问题，这类问题通常涉及多个维度的成本考虑以及特定的组合规则。 ##### 基本概念 - **多重背包**：每个物品可以被多次选择。 - **混合背包**：物品可以分为两种类型，一种只能选择一次（即01背包），另一种可以无限次选择（即多重背包）。 - **分组背包**：某些物品必须成组选取或不选取。 - **二维费用背包**：每件物品不仅有一个成本，还有两个或者以上的成本，例如重量和体积等。 #### 1. 多重、混合、分组二维费用01背包问题 - **问题定义**：给定N件物品和一个容量为V的背包，每件物品有成本\( w_i \)和价值\( c_i \)，求解将哪些物品装入背包可以使价值总和最大。 - **基本思路**： - 定义子问题：\( f[i][j] \)表示将前\( i \)件物品放入容量为\( j \)的背包中的最大价值。 - 状态转移： - 不放第\( i \)件物品：\( f[i-1][j] \) - 放第\( i \)件物品：\( f[i-1][j-w_i]+c_i \) - **状态方程**：\( f[i][j] = \max\{f[i-1][j], f[i-1][j-w_i]+c_i\} \)，其中\( w_i \leq j \)。 - **递推过程**：通过两层循环实现状态方程的计算，先遍历物品再遍历背包容量。 - **边界条件**：当物品的费用大于背包容量时，无法放入背包中，此时状态保持不变。 #### 2. 二维费用背包问题 - 在传统的01背包基础上增加了一个维度的成本考量，如重量和体积。 - 需要考虑如何在两个维度上同时满足约束条件。 #### 3. 空间优化：滚动数组 - 由于当前层的状态只依赖于上一层的状态，可以通过滚动数组的方式减少空间复杂度。 - 优化后的状态转移方程：\( f[j] = \max\{f[j], f[j-w_i]+c_i\} \)。 #### 4. 实际案例分析：2758搭配购买 - **问题描述**：Joe有W元钱，想购买n朵云，每朵云都有价值\( c_i \)和价格\( d_i \)。一些云朵需要搭配购买，即买某朵云必须连带买其搭配的云朵。求Joe可以买到的最大价值。 - **数据范围**：对于100%的数据，\( n \leq 10000 \), \( 0 \leq m \leq 5000 \), \( w \leq 10000 \)。 - **解决策略**： - 使用并查集来处理搭配购买的问题。 - 对于每一对搭配云朵，将它们合并到同一个集合中。 - 计算每个集合中所有云朵的价格和价值总和。 - 将集合看作一个整体进行01背包问题的求解。 #### 5. 并查集的应用 - 用于处理搭配购买的问题。 - **并查集的操作**： - 查找根节点：\( find(x) \)函数找到x所属集合的根节点。 - 合并集合：将两个集合合并为一个。 - 路径压缩：在查找过程中优化查找效率。 - **并查集与01背包结合**： - 先使用并查集处理搭配购买的问题，合并搭配的云朵。 - 再根据合并后的结果进行01背包问题的求解。 #### 总结 本文详细介绍了动态规划中多重混合、分组及二维费用背包问题的基本概念、解题思路及其实际应用案例——2758搭配购买问题。通过对这些知识点的理解和掌握，可以更好地应对复杂多变的实际问题，尤其是在资源分配、物品选取等问题上具有广泛的应用前景。