广告的费用及其效应 数学建模
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2010-07-11
16:06:20
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最佳广告费用及其效应
摘要：本文从经济经验上着眼，首先用回归建立了基本模型，从预期上描述了售价变化
与预期销售量的关系和广告费变化与销售量增长因子的关系。其次从基本模型出发，我们
构造出预期时间利润最大模型，得到了利润在预期的条件下获得最大利润 116610 元时的最
佳广告费用 33082 元和售价 5.9113 元。
一 问题的分析与假设
（1）销售量的变化虽然是离散的，但对于大量的销售而言，可设销售量的变化随售价的增
加而线性递减。
（2）销售增长因子虽然也是离散的，但当广告费逐渐增加时，可设销售增长因子也是连续
变化的。
（3）要使预期利润达到最大，买进的彩漆应为模型理论上的预期最大利润时的销售量相等。
二 模型的基本假设与符号说明
（一）基本假设
1. 假设彩漆的预期销售量不受市场影响。
2. 彩漆在预期时间内不变质，并且价格在预期内不波动。
（二）符号说明
x：售价（元）；
y：预期销售量（千桶）；
回归拟合预期销售量（千桶）；
：预期销售量的均值（千桶）；
：售价的平均值（元）；
：x 与 y 的回归常数；
：x 与 y 的回归系数；
：x 与 y 的随机变量；
k ：销售增长因子；
m ：广告费（万元）；
：k 与 m 的非线性回归系数；
：k 与 m 的非线性回归系数；
：k 与 m 的非线性回归常数；
：k 与 m 的随机变量；
Z ：预期利润（元）。
三 模型的建立
（一）售价与预期销售量的模型。
根据条件（表 1）描出散点图，假设售价与预期销售量为线性关系，得基本模型
假定 9 组预期值 i=1,2,…,9；符合模型
用 OLS 法得 和 的最小而乘估计
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