算法设计与分析 棋盘覆盖.doc

【算法设计与分析 - 棋盘覆盖问题】 棋盘覆盖问题是一个经典的组合优化问题，涉及到算法设计与分析中的分治策略和递归方法。在这个问题中，我们有一个 n×n 的棋盘，其中 n=2k，k 是非负整数。棋盘中有一个特殊方格，其余方格都是常规的。目标是使用特定形状的 L 型骨牌来覆盖棋盘上的所有常规方格，不覆盖特殊方格，且不允许骨牌重叠。 L 型骨牌由三个相邻的正方形组成，可以在棋盘上占据三个方格的位置。对于一个 n×n 的棋盘，需要的 L 型骨牌数量是 (n^2 - 1) / 3。这是因为每个骨牌覆盖了三个方格，除了特殊方格外，需要覆盖 (n^2 - 1) 个方格。 **问题描述与实验目的：** 给定 k（k>1），我们需要找到一种方法来覆盖一个 2k×2k 的棋盘，其中特殊方格的位置坐标为 (x, y)。实验要求是设计一个算法来实现棋盘的覆盖，并输出覆盖方案。 **分治策略：** 当 k>0 时，可以将棋盘划分为四个 2^(k-1)×2^(k-1) 的子棋盘。由于棋盘只有一个特殊方格，因此只有一个子棋盘包含这个特殊方格。为了处理其他三个不含特殊方格的子棋盘，我们可以在它们的交汇处放置一个 L 型骨牌，这样就将问题转化为四个小规模的棋盘覆盖问题。通过递归地应用这个策略，我们可以解决任意大小的棋盘覆盖问题，直到棋盘被划分为 1×1 的子棋盘，此时问题变得非常简单，因为只需要覆盖两个相邻的方格。 **动态规划方程：** 虽然这里没有明确提到动态规划，但这个问题可以通过动态规划的思想来解决。可以定义一个状态数组，其中每个状态表示一个子棋盘的覆盖情况。通过递推关系更新状态，最终得到整个棋盘的覆盖解。 **实验程序：** 程序设计的关键是正确地处理棋盘的划分和递归过程。程序需要读取输入，包括 k、x 和 y 的值。然后，根据分治策略进行棋盘的划分和覆盖。输出应按照指定格式，用数字表示骨牌编号，特殊方格用 '#' 表示。进阶要求是使用图形处理软件可视化覆盖结果，用不同颜色区分不同骨牌。 **实验体会：** 解决棋盘覆盖问题需要深入理解分治策略和递归，以及如何有效地将大问题分解为小问题。优化方面，可以考虑减少重复计算，比如利用缓存存储子问题的解，或者优化划分策略以降低复杂性。此外，图形化输出能更直观地展示算法的执行过程，帮助理解算法的逻辑。 棋盘覆盖问题是一个很好的算法设计实例，它展示了如何运用高级算法思想解决实际问题。通过这个实验，我们可以提升对分治法的理解，同时也能锻炼编程和问题解决能力。