插值是一种在信号处理中广泛使用的数字信号处理技术，它涉及到如何从一组离散采样点重建或生成连续信号的过程。在本课件中，插值主要关注的是如何通过插值将低采样率的信号转换为高采样率的信号。
原始采样周期为 \( T \)，表示在时间轴上每 \( T \) 秒有一个采样点。如果要进行 \( m \) 倍的插值，输出信号将会在每个时间点 \( nT \) 都有采样点，即输出信号的采样率是输入信号采样率的 \( m \) 倍。换句话说，输入信号 \( X(z) \) 的采样点仅存在于 \( mT \) 的倍数时刻，而输出信号 \( Y(z) \) 在所有 \( nT \) 的时刻都有采样点。
数字滤波器的传输函数在这里起到了关键作用。假设滤波器的传输函数为 \( H(z) \)，那么经过插值后的信号 \( Y(z) \) 可以表示为 \( X(z)H(z^m) \)。这意味着滤波器的脉冲响应会在 \( mT \) 的间隔出现，即它的延迟是原始滤波器的 \( m \) 倍。
进一步地，我们可以看到插值过程可以分解为一系列的操作。具体来说，输入信号 \( X(z) \) 经过 \( H(z) \) 的 \( m \) 次卷积得到 \( Y(z) \)。在数学表达式中，这可以表示为 \( Y(z) = \sum_{k=0}^{m-1} X(z)H(z^m)z^{-km} \)。这个等式揭示了输出信号是由输入信号与滤波器传递函数的多个延迟版本相乘后相加的结果。
实际实现中，这个过程可以通过一个称为“移位网络”的结构来完成，其中的延迟元素（或称为相位移位器）使输入样本在相隔 \( T \) 秒的位置相加，而不会相互影响。这样的结构可以用一个开关网络（即交换器）来模拟，其中每个延迟单元对应于 \( H(z^m) \) 的一个系数。
另一方面，提到的“Decimation”是插值的反过程，即降低采样率。这里，输入信号 \( X(z) \) 的采样率为 \( 1/T \)，输出信号 \( Y(z) \) 的采样率为 \( 1/(mT) \)。同样地，这个过程也涉及一个数字滤波器 \( H(z) \)，通过它进行下采样操作，公式为 \( Y(z) = X(z)H(z^m) \)。在这个过程中，关键在于选择适当的滤波器以避免混叠，并确保信号在降低采样率后仍能准确地代表原始信息。
插值和下采样是数字信号处理中的基本操作，它们用于调整信号的采样率以适应不同的应用场景，如数据压缩、信号重构或频谱分析。理解这些概念以及它们的数学表示对于深入学习数字信号处理至关重要。
